Irrationalité de racine(2)

Bonjour,

Existe-t-il une démonstration par l'absurde ?

Je vais ajouter mon grain de sel même si je risque un hors-sujet. Ou encore comment, à partir du résultat qui pourrait paraître négatif
`` si $p, q$ sont deux entiers $\ge 1$, alors $p^2 /q^2 \ne 2$' ' (c'est cela le fait que $\sqrt 2$ est irrationnel), on peut voir la chose de
manière positive (pour éviter d'être désolé de la non existence de $(p,q)$ tels que...). Soient $p,q \ge 1$ quelconques.
On a donc $p^2 - 2q^2 \ne 0$ (désolant) c.a.d. $|p^2 - 2q^2| \ge 1$ (moins désolant). Ou encore $|p - \sqrt 2q| |p + \sqrt 2q| \ge 1$. D'où
$$
|p - \sqrt 2 q| \ge {1 \over p + \sqrt 2q} \qquad \hbox {en divisant par $q$ }\qquad
\left| {p \over q} - \sqrt 2\right| \ge {1 \over q(p + \sqrt 2q)} \ge {1 \over q(p + 2q)}
$$
On peut voir l'inégalité de droite comme une résistance, pour un rationnel $p/q$, à approcher $\sqrt 2$. Il y d'autres inégalités ce ce type,
par exemple $|p/q - \sqrt 2| \ge 1/6q^2$ (je crois, à vérifier). Avec ça, on peut passer un bon après-midi, non ?

Mais par ailleurs, dans la direction opposée, pour tout irrationnel $x$, les réduites de $x$ fournissent des rationnels $p/q$ tels que $|x - p/q| \le 1/q^2$
(ou peut-être mieux $|x - p/q| \le 1/(2q^2)$ ?? je demande confirmation à noix de totos ou Fdp). Il me semble même qu'il y a une infinité de
rationnels $p/q$ tels que $|x - p/q| \le 1/(\sqrt 5 q^2)$ et que $\sqrt 5$ est ce que l'on peut faire de mieux. Il y a des spécialistes qui vont peut-être
me tomber dessus si j'écris des choses approximatives (au moment où j'écris, je ne sais pas quoi consulter).
noix de toto ou Fdp : références sûres (et élémentaires, tant qu'à faire) ?

On s'éloigne du sujet ? Oui, je l'ai dit au début. Mais c'était juste pour voir la vie en rose quelques heures (ici, il pleut).
Have a nice day.

Plus précisément, gb a raison

@kolotoko: la citation est fausse (je veux dire: ce qu'elle dit est faux).

On peut la corriger en disant la chose de la manière suivante: '' cette façon de raisonner, qui consiste à supposer fausse une certaine hypothèse pour ensuite bâtir un raisonnement qui débouche sur une incohérence contradiction permettant finalement de conclure à la vérité de l'hypothèse initiale, est appelée '' raisonnement par l'absurde ''

Mais le mieux est encore de ne dire aucune de ces deux choses-là, la deuxième (qui est correcte) courant trop le risque d'être confondue avec la première.

J'ai fait plusieurs fils sur le RPA. Le forum a une bonne "banque" de documentation dessus du coup. Dans le présent post, je me contente de donner "la bonne" façon de décrire le RPA de manière qu'il ne soit pas confondu avec ce qui n'en est pas. Commençons par préciser que ce n'est pas un raisonnement mais un axiome, ce sera déjà plus sain (pour des raisons techniques, on distingue parfois règles de raisonnement d'axiomes, mais pour l'essence des choses, vaut mieux pas, tout doit être axiome et la seule règle acceptée ne peut être que le modus ponens)

Le RPA est l'axiome (souvent appelé "axiome de Peerce" d'ailleurs) qui dit que si (A=>B) =>A alors A. "Faire un RPA" c'est exploiter cet axiome. C'est tout.

La plupart du temps (d'où les confusions), on l'exploite avec B:=tout, ce qui donne "si (nonA) =>A alors A". Pour ceux qui sont matheux "d'avance", en général, quand on fait un RPA "on le sent passer", ça ne ressemble pas à une vulgaire contraposition (pour être plus précis, mais ce n'est qu'à titre d'exemple, on ne prouve, en pratique, non pas "(nonA) =>contradiction", mais plutôt "(nonA) =>A", la contradiction venant d'une deuxième consommation de l'hypothèse "nonA".

L'exemple le plus "pédagogique" (au sens non scolaire) que j'ai trouvé*** est le RPA qui établit que $a^2=0$ implique $a=0$. On déduit bien de $a\neq 0$ que $a=0$ (et non pas une contradiction tout de suite)

*** enfin je n'ai pas beaucoup cherché, je reprends toujours celui-là (qui peut avoir d'ailleurs un côté agaçant pour les algébristes (ou les géomètres algébristes) qui préfèrent définir un corps comme vérifiant $\forall x: [x=0 \vee (x$ inversible$)]$, plutôt que comme vérifiant $\forall x: [x\neq 0 \to (x$ inversible$)]$)

Yves a écrit:

Par le théorème fondamental de l'arithmétique

Par la classe de 4ième des collèges français :-D, tout rationnel peut s'écrire sous forme d'une fraction irréductible (on simplifie jusqu'à plus pouvoir). Il suit que tout rationnel s'écrit avec un numérateur ou un dénominateur impair au moins. Or si $p^2 = 2q^2$ alors $p$ est multiple de $4$, donc $q$ est pair...

D'une manière générale, si $P$ est un polynôme non trivial à coefficients entiers et unitaire (ie son plus grand coefficient est 1). Si $(p/q)$ est une fraction irréductible qui en est racine alors, en multipliant par la puissance de $q$ que tu devines, tu obtiens que $p^n$ est multiple de $q$, donc que $p$ est multiple de $q$ donc que $(p/q)$ est un entier. Ca s'applique à $X^2-2$, mais aussi à tout un tas d'autres polynômes divers et variés.

@Christophe C. Ton dernier message reprend ce que j'ai dit au mien au début (mais qui semble avoir été zappé...).