Ensemble de nombres

Bonjour,
Je pense que la question vaut pour l'ensemble $\mathbb N^*$ des entiers naturels non nuls

Ne peux-tu pas faire référence à la décomposition de ces nombres en facteurs premiers ?
Essaye d'analyser ce que tu as commencé.
Dans quel ensemble rangeras-tu 80 ? Explique.

Il faut ?
On peut imaginer d'autres partitions...
Là, il s'agit juste d'aider alb1201 à préciser son choix et à le valider

J'ai l'impression d'être dans une histoire de fous. :-D

Que représente n?

Le rang d'un nombre premier?

Dans quel ensemble mettras-tu 80 ?
Dans quel ensemble mettras-tu 2016 ?
Pense à la décomposition des entiers en facteurs premiers.

Pardon d'insister mais pour moi c'est toujours une histoire de fous, désolé.
(je m'étonne à être le seul à m'en rendre compte mais peut-être que c'est moi le fou:-D )

Quelqu'un aurait-il l'obligeance de fournir un énoncé correct, non tronqué, à la question posée? Merci d'avance.B-)-

@Fdp:
Il est vrai que alb1201 aurai dû se donner la peine de corriger son énoncé.
Il s'agit de donner une partition de $\mathbb N^*$ en deux parties disjointes telles que si un entier $n $ appartient à l'une alors $2n $ appartient à l'autre.

Cela n'aide-t-il pas de se rappeler que si $n$ est un entier naturel non nul alors il existe un unique entier naturel impair $q$ et un unique entier naturel $r$ tels que: $n=q\times 2^r$?

PS:
Je vois que c'est la piste donnée par Jacquot, désolé de la répétition.

Pour éviter d'avoir une infinité de solutions, je poserais les conditions
(1) si $n$ est dans A, $2n$ est dans B,
(2) si $n$ est dans B, $n/2$ est dans A.

Zut ! Cela m'apprendra à tout lire : jacquot avait déjà décrypté la question !:-D

Donc en fait on prend un nombre impair $q$ et on le met dans un des deux sous-ensembles (n'importe lequel) avec tous ceux de la forme $q2^{2k}$. Ceux de la forme $q2^{2k+1}$ on les met dans l'autre. Bon ...

@soland
Ta présentation laisse sous-entendre que $A$ contient nécessairement tous les nombres impairs, ce qui est incorrect.

Toute solution est déterminée par une partition des entiers impairs en deux ensembles que l'on peut noter $A_1$ et $B_1$ (en fait un des ensembles peut même être vide, ce qui n'est plus vraiment une partition). La solution est alors
\[\begin{cases}
A=\bigcup\limits_{q\in A1}C_q \bigcup\limits_{q\in B1}D_q\\
B=\bigcup\limits_{q\in B1}C_q \bigcup\limits_{q\in A1}D_q
\end{cases}\]
où $C_q=\{q\,2^{2k}\}_{k\in \N}$ et $D_q=\{q\,2^{2k+1}\}_{k\in \N}$

Si $n$ est un entier il est l'une des formes:

$2^{2r}(4k+1),2^{2r+1}(4k+1),2^{2r}(4k+3),2^{2r+1}(4k+3)$

S'il est de la forme $2^{2r}(4k+1)$ on le range dans $A$.
S'il est de la forme $2^{2r+1}(4k+1)$ on le range dans $B$
S'il est de la forme $2^{2r}(4k+3)$ on le range dans $B$.
S'il est de la forme $2^{2r+1}(4k+3)$ on le range dans $A$.

Si je ne me suis pas trompé, les entiers impairs ne sont pas rangés dans le même ensemble. B-)-

Toutes les solutions on les connait déjà.

Il suffit de se donner une fonction $\varphi$ de l'ensemble des entiers impairs vers $\{0,1\}$

Soit $n$ un entier naturel non nul. Il est de la forme $2^r\times k$ où $r$ est un entier naturel et $k$ un entier naturel impair.

Si $\varphi(k)=0$ alors $2^{2r}\times k$ est dans (A) $F$ et $2^{2r+1}\times k$ est dans (B) $U$
Si $\varphi(k)=1$ alors $2^{2r}\times k$ est dans (B) $U$ et $2^{2r+1}\times k$ est dans (A) $F$


PS:
J'ai changé les notations suites à des réclamations. B-)-

@FdP: je vois mal $3$ dans $B$ car alors $1,5$ serait dans $A$ tandis que $A$ ne contient que des entiers.
@skilvek: tout à fait ( sauf que FdP s'est gourré car il a parlé de $A$ et de $B$ qui sont des mots sacrés puisque définis par Soland);
si l'on s'en tient à la question initiale, elle a évidemment toutes les solutions que décrit Serge 17 et si l'on s'arrête là, par pléonasme, c'est fini.
En revanche, la contrainte qu'impose Soland conduit à l'unicité de la solution et c'est cette solution qu'il peut être intéressant d'examiner.
Cordialement
Paul

@alb1201

Emporté par mon élan, je me suis éloigné de ta question initiale : théoriser tes ensembles $A$ et $B$.

Fin de Partie et moi avons donné (sous des formes différentes) toutes les solutions. Où se trouve la tienne la dedans?

Avec ma présentation, ta solution correspond à $A_1=\N^*$ et $B_1=\varnothing$ et donc
\[\begin{cases}
A=\bigcup\limits_{q\in \N^*}C_q \\
B=\bigcup\limits_{q\in \N^*}D_q
\end{cases}\]
où $C_q=\{q\,2^{2k}\}_{k\in \N}$ et $D_q=\{q\,2^{2k+1}\}_{k\in \N}$

Avec la sienne, il faut prendre $\varphi=0$ , ce qui donne le même résultat (dans ce cas $A=F$ et $B=U$).

Ce résultat est aussi celui donné par soland car tes ensembles $A$ et $B$ vérifient (sur les éléments donnés) sa condition supplémentaire.

Comme tu le vois, on y a tous répondu même si la confusion générale a pu nuire à la précision des réponses (et à la bonne humeur de certain). Par contre, on n'a pas pu te donner une formule donnant le $n^e$ terme de $A$ en fonction de $n$ ou de ses prédécesseurs : si c'est cela que tu cherchais, c'est raté !

@alb1201
Ce n'est pas une formule mais on peut donner un algorithme permettant de calculer le terme suivant un terme donné.

Comme on l'a déjà été dit, ton ensemble $A$ est caractérisé par $x\in A$ si et seulement si il existe $\alpha\in\N$ et $q$ impair tels que $x=4^\alpha\,q$.
Si on note $a_n$ et $b_n$ les $n^e$ éléments de $A$ et $B$ respectivement, on peut montrer simplement que $b_n=2\,a_n$. Il suffit donc de s'intéresser à $A$.

• Si $a_n$ est pair alors $a_{n+1}=a_n +1$
• Si $a_n$ est impair, il y a plusieurs possibilités
  1. si $a_n=4k+1$ alors $a_{n+1}=a_n +2$
  2. si $a_n=4k-1$ alors $a_{n+1}=
     \begin{cases}
     a_n+1 \text{ }\text{ si } k\in A \\
     a_n +2 \text{ }\text{ si } k\notin A
     \end{cases}$

En espérant que cela te sera utile.

La formule du rang donnée par depasse, même si elle ne permet pas de donner une fonction réciproque permet de fabriquer un algorithme très efficace. Faute de la démontrer (avis aux amateurs B-)), je l'ai vérifiée sur les toutes premières valeurs de $A$ (juste un détail : on peut aussi écrire $r(x)=\lfloor \frac{x+1}{2}\rfloor$).

On en déduit, avec $t\in A$ que \[R(4t)=2t+R(t)\] d'où on tire, pour $q$ impair
\[R(4^n\,q)=2q\frac{4^n-1}{3}+R(q)\]

En notant $x_q=q\,4^n$, on obtient \[3R(x_q)-2x_q=3R(q)-2q\] Une étude sur les nombres impairs $q<100\,000$ montre que $\vert 3R(q)-2q\vert <9$, si bien que \[x\approx \frac{3R}{2}\] est une très bonne approximation (le site de l'OEIS donné en référence par kolotoko montre d'ailleurs cette quasi-linéarité). Il suffit ensuite de faire quelques ajustements pour finir.

Un exemple : pour $R=12548972341+314159k$ avec $0\leqslant k \leqslant 10$, on calcule \[x=2\lfloor 3R/4\rfloor -1\]
pour être sûr d'avoir un élément de $A$, puis on calcule le rang de chaque $x$. Résultat : une différence inférieure ou égale à 2. Certes, ce n'est qu'un exemple.

Bonjour,

Pardon pour cette bien inutile partie entière!

pour tout $t$ réel positif

l'ensemble $I(t)$ des impairs positifs inférieurs à $t$ est de cardinal $r(t)=\lfloor \frac{t +1}{2} \rfloor$;
l'ensemble $A(t)$ des éléments de $A$ inférieurs à $t$ est la réunion disjointe de $I(t)$ et de $4A(\frac{t}{4})$;
le cardinal $R(t)$ de $A(t)$ vérifie donc $R(t)=r(t)+R(\frac{t}{4})$; donc, d'une part
$R(4t)=r(4t) +R(t)=2t + R(t)$ et, d'autre part, par itération,
$R(t)=\Sigma r(\frac{t}{4^k})$

@depasse : merci pour cette courte mais instructive démonstration.

@soland : Tout le monde a déjà lu ton post. Quel message veux-tu faire passer en le rappelant sans faire le moindre commentaire ? Mais bon, puisque tu nous y invites, en voici quelques uns (des commentaires).

D'abord sur la forme, quelques corrections qui, à mon avis, devraient être faites dans le post initial.
$\N$ contient déjà $0$ donc $\N'$ est inutile (c'est $\N^*=\N \setminus \{0\} $ qui ne contient pas $0$).
Comme le dit depasse, à partir de "La donnée impose une condition sur $\cdots$, tous les $A_q$ sont en fait des $X_q$.

Ensuite sur le fond. Je suppose que tu cherches à caractériser une partition $\{A,B\}$ quelconque et non celle donnée par alb1201. Avec ta définition de $A_q$, on a en retour \[A=\bigcup_{q\in2\N+1}A_q\]. La condition sur $X_q$ ne ne pas contenir deux entiers successifs vaut aussi pour $Y_q$. Du coup $X_q=2\N$ ou $X_q=2\N+1$ selon que $0\in X_q$ ou non c'est-à-dire suivant que $q\in A_q$ ou non.

Je résume $A_q=\{q\,2^{2k}\}_{k\in\N}$ ou $A_q=\{q\,2^{2k+1}\}_{k\in\N}$ suivant que $q\in A_q$ ou non. Par conséquent $X_q$ et $Y_q$ ne servent à rien et $A$ va s'écrire comme ici (eh oui! je m'auto-cite). A moins que tu ne veuille faire intervenir une fonction $\varphi$ telle que $\varphi(q)=0$ ou $\varphi(q)=1$ suivant que $q\in A_q$ ou non (ou le contraire) comme là.