formule nombres composés impairs

lapetite123
lapetite123
dans Arithmétique
Bonjour,

J'ai voulu déterminer l'ensemble des nombres composés impairs qui existent sans les nombres premiers et voilà la formule que j'ai trouvé après y avoir passé beaucoup de temps.
N'étant pas mathématicienne, je ne connais pas la notation pour l'écrire en une seule formule et c'est pourquoi j'aimerais votre aide.
J'aimerais aussi savoir si cette formule existe, car ça ressemble au crible de sundaram mais ce n'est pas exactement pareil.

Merci d'avance


8*1+7 = 15
8*2+7 -2 = 21
8*2+7 +2 = 25
8*3+7 - 4 = 27
8*3+7 +4 = 35
8*4+7 -6 = 33
8*4+7 +6 = 45
8*5+7-8 =39
8*5+7+8 =55
8*6+7-10=45
8*6+7+10=65
Etc.


12*2+11 = 35
12*3+11 -2 = 45
12*3+11 +2 = 49
12*4+11 -4 = 55
12*4+11 +4= 63
12*5+11 -6=65
12*5+11 +6=77
12*6+11-8=75
12*6+11+8=91
12*7+11-10=85
12*7+11+10=105
Etc.


16*3+15=63
16*4+15 -2=77
16*4+15 +2=81
16*5+15 -4=91
16*5+15 +4=99
Etc.

Et on continue ainsi avec 20*4+19 etc

Réponses

  • soland
    soland
    Ça revient en gros à trouver une formule donnant les nombres premiers impairs.
    Je prévois des difficultés.
  • Gréco-bactrien
    Gréco-bactrien
    Formulons :

    Tout entier impair composé s'écrit sous la forme :
    $4na+(4a-1)+2(-1)^\epsilon (n-a+1)$

    avec $a>1$ et $n$ entiers et $\epsilon=0$ ou $1$.

    Est-ce vrai et la réciproque est-elle vraie ?
  • soland
    soland
    Apparemment on tolère les représentations multiples (cf. 63)
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Il me semble que ce n'est pas facile de trouver un nombre premier de la forme:

    $4na+(4a-1)-2(n-a+1)$ ($n,a>1$ entiers )

    Et il ne semble pas que cette expression soit divisible par un nombre fixe.
    (j'ai un exemple où le plus petit diviseur différent de $1$ est $617$ si je ne me suis pas trompé)
  • lapetite123
    lapetite123
    il s'agit de trouver un nombre composé impair grace à cette formule, pas un nombre premier...
    Et de ce que j'ai écrit, cela fonctionne très bien, alors je ne sais pas si la formule proposée par gréco bactrien correspond bien à ce que j'ai écrit, mais je serai curieuse de trouver un contre exemple!
  • serge17
    serge17
    On part de la formule donnée par Gb (qui est correcte ;-)) avec les conditions $a\geqslant 2$ et $n\geqslant a-1$
    \[m=4an+(4a-1)\pm 2(n-a+1)\]
    Avec le signe $+$ cela donne
    \[m=(2a+1)(2n+1)\]
    et avec le signe $-$
    \[m=(2a-1)(2n+3)\]
    Par conséquent on n'obtient que des nombres composés impairs et on les obtient tous. Mais l'intérêt est limité car, mis à part la forme particulière des calculs, cela revient à dire que tout nombre composé impair $m$ s'écrit $m=pq$ avec $p$ et $q$ impairs.
  • lapetite123
    lapetite123
    Merci beaucoup pour votre réponse! :-) Même si ce n'est probablement que d'un intérêt limité, je suis contente d'avoir pu trouver cela et ce grace à la géométrie!

    Bien cordialement
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Merci Serge17.

    Un mystère éclairci. :-D
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