2 questions sur les nombres premiers

Tendou · April 2016

Bonjour.
Je m'appelle Erwan Allot.
C'est mon premier message sur ce forum.

J'ai eu par le passé tendance à me montrer beaucoup trop optimiste dans la quête des nombres premiers.
Aujourd'hui, je sais qu'énormément de choses sont hors de ma portée, ce qui ne m'empêche pas de m'y intéresser.

Je resterai dans le vague sur mes 2 questions, désolé par avance.

Première question :
Existe-t-il au moins une fonction qui donne des entiers dont leur factorisation renvoie uniquement à des nombres premiers de la forme 6k+1 ?
(Il me semble en avoir trouvé une mais bien entendu je n'ai pas été vérifier très loin et je n'ai rien démontré. Quelque part, ça me parait logique que ça existe mais n'ayant jamais rien lu à ce sujet, je m'interroge.)

Deuxième question :
Si on s'interroge sur la primalité d'un nombre noté x mais que pour ce faire il faille faire 10 calculs avec des nombres de l'ordre de x^8, ça apporterait quelque chose ou ça ne servirait à rien ?
(Il ne s'agirait ici que d'une conjecture. Je suis bien conscient que c'est énorme x^8 mais c'est toujours mieux que d'aller jusqu'à x!.)

Je m'excuse par avance de vous importuner.
J'ai placé ce topic dans cette section parce que les questions font appel à la logique, logique qui m'échappe.
[Je transfère quand même en arithmétique. AD]

Bonne journée.

gerard0 · April 2016

Bonjour.

Ta question 1 trop floue a une réponse simple : Oui, la fonction constante n-->7. Comme je ne vois pas de signification évidente, je n'en dis pas plus.
Pour ta question 2, à priori on évite de trop calculer avec de grands nombres, mais si c'est un calcul simple, pas de problème, on sait calculer rapidement avec de très très grands nombres. Cependant on a déjà des algorithmes efficaces.

Cordialement.

NB : Ce sujet a bien plus sa place en arithmétique.

Tendou · April 2016

Merci pour ta réponse.

Concernant la question 1, je faisais allusion aux fonctions non constantes et en particulier une équation du second de degré.

Concernant la question 2, sachant que je pensai utiliser des choses que je ne maîtrise pas du tout... et que quand je me documente j'ai l'impression que c'est déjà connu... je suppose que je suis d'office largué.

Je ne comprends pas c'est quoi la classe résiduelle de Ln-1 pour Mn (nombre de Mersenne). En fait, leur algorithme est super efficace, j'entends, mais je ne comprends pas.

gerard0 · April 2016

Pour la question 1, je ne sais toujours pas de quoi tu parles.
Pour la question 2, de bonnes études en arithmétiques seront nécessaires. Et intéressantes pour toi. Ne serait-ce que pour ne pas réinventer l'eau chaude :-).

Cordialement.

Tendou · April 2016

Je reformule ma première question :

Soit une fonction $y = ax^2 + bx + c$
Avec $a, b$ et $c$ trois constantes entières non nulles.
Il est peu probable voire démontré impossible qu'une telle fonction donne pour chaque valeur de $x$ des nombres premiers.
Maintenant, étudions la factorisation en nombres premiers de $y_1$, $y_2$, etc...
Existe-t-il au moins une formule répondant aux critères précédents où la factorisation de chacun des $y$ est composée uniquement de nombres premiers de la forme $6k+1$ ?

J'aurais tendance à dire oui sans pouvoir le démontrer.

Je commence par cette question pour acquérir si possible des connaissances en arithmétique.

PS : Si la question n'est toujours pas claire, je reformulerai de nouveau.

Je suis d'accord sur le fait que je n'ai pas inventé l'eau chaude.

Fin de partie · April 2016

Tendou a écrit:

J'aurais tendance à dire oui sans pouvoir le démontrer.

Et moi, non, pour la raison suivante:

$(6a-1)(6b-1)=6(6ab-a-b)+1$

PS:
un nombre entier impair premier est de la forme $6k+1$ ou $6k-1$
Pour qu'un nombre impair ne soit le produit que de nombres premiers de la forme $6k+1$ il faut aussi qu'il soit de cette forme.

depasse · April 2016

Là, c'est une faute d'oublier $3$

Fin de partie · April 2016

oui, en effet. Merci de cette précision.

Je reprends à la lumière de cette remarque:

Un entier impair strictement plus grand que $3$ est de la forme $6k+1$ ou $6k-1$

JLT · April 2016

Pour la première question, on peut prendre $f(n)=12n^2+1$. Supposons en effet qu'un nombre premier $p$ divise $12n^2+1$. Déjà, $p\geqslant 5$ puisque $12n^2+1$ n'est ni un multiple de $2$, ni un multiple de $3$. Donc $p$ est de la forme $6k+1$ ou $6k+5$. Supposons par l'absurde que $p$ est de la forme $6k+5$. Alors $p$ n'est pas un carré modulo $3$. On en déduit que

$$\left( \frac{ -3}{p } \right)= \left( \frac{-1 }{p } \right) \left( \frac{3 }{p } \right)=\left( \frac{ p}{3 } \right)=-1$$
d'après la loi de réciprocité quadratique (les écritures qui précèdent sont des "symboles de Legendre"). Ceci contredit le fait que $p$ divise $3(12n^2+1)=(6n)^2+3$.

(Je pense que Tendou n'a pas le bagage mathématique suffisant pour comprendre la preuve qui précède.)

Tendou · April 2016

Merci pour tes explications JLT.
Malheureusement, je ne comprends pas cette preuve.

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