Diagonale

Je n'ai rien compris à la question. :-D

Si $f$ est une fonction strictement croissante et continue sur $[0,+\infty[$ telle que $f(0)=0$, notons pour $n\in\mathbb{N}^*$, $c(f,n)$ le nombre de carrés du "réseau unité" situés dans la bande $0\leqslant x\leqslant n$, traversés par la représentation graphique de $f$. Sauf erreur, on peut voir que
$$c(f,n)=n+\lfloor f(n)\rfloor-\text{Card}\{1\leqslant k\leqslant n \;\;|\;\;f(k)\in\mathbb{N}\} \;.$$
Par exemple :

$\bullet$ Si $p>0$ et $q>0$ sont deux entiers premiers entre eux, $c\left(x\mapsto\frac{p}{q}x,n\right)=n+\left\lfloor\frac{p\,n}{q}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n}{q}\right\rfloor$.
$\bullet$ Si $m$ est un entier $\geqslant2$, on a $c(x\mapsto\sqrt[m]{x},n)=n+\lfloor\sqrt[m]{n}\rfloor-\text{Card}\{1\leqslant k\leqslant n \;\;|\;\;\sqrt[m]{k}\in\mathbb{N}\}$ donc on a tout simplement $c(x\mapsto\sqrt[m]{x},n)=n$.