a=b mod n versus a mod n = b

Seule la première égalité a un sens.

La seconde ne veut absolument rien dire.

Bonjour.

A priori, il ne s'agit même pas d'une égalité (il fut un temps où on utilisait le symbole $\equiv$); cependant, il vaut mieux que le symbole porte sur les nombres et que le "modulo", qui change le sens du symbole soit avant ou après :
modulo 5, 12=17
12=17 [5]

" "a modulo n = b" fait porter l'égalité entre n et b, donc il est sain de l'éviter.

Cordialement.

NB : Tout est possible si on se fait bien comprendre. " Si ".

L'opération est celle dans Z. Si on confond chaque classe avec un de ses représentant, on calcule sur les classes, donc on n'a plus besoin d'écrire le "modulo" :
1+1=0 est tout à fait correct si on écrit dans Z/(2Z).

Cordialement.

Nb : Dire qu'une écriture n'a aucun sens est normal en maths, ça ne dit rien sur l'auteur de l'écriture.

On peut dire aussi qu'il s'agit d'une égalité d'ensembles (d'une infinité d'entiers comme cela a été dit).
On définit une addition entre deux ensembles et une multiplication entre deux ensembles.
En mettant des barres au dessus des nombres, on se rappelle qu'il s'agit de l'ensemble dont le nombre est contenu.

Cette vision permet peut-être de comprendre la portée de ce que l'on fait.

Modulo 5, par exemple. : x=4 signifie {..., x-10, x-5, x, x+5, x+10,...} = {..., -6, -1, 4, 9, 14, ...}.

C'est mal écrit à cause des pointillés, bien sûr.

Pour dire les choses plus abstraitement.

Soit $n>1$ un entier.

On peut partitionner $\mathbb{Z}$ en $n$ sous-ensembles.

Que signifie partitionner dans ce contexte?
1) Chaque élément de $\mathbb{Z}$ appartient à l'un de ces $n$ sous-ensembles.
2) Aucun de ces sous-ensemble n'est vide.
3) Deux de ces sous-ensembles distincts n'ont aucun élément en commun.

Dans notre cas d'espèce, deux éléments de $\mathbb{Z}$ sont dans le même sous-ensemble (on dit classe dans ce contexte) si leur différence est divisible exactement par $n$.
Tu peux vérifier que les points 1) 2) 3) sont vérifiés.

On peut "naturellement" se poser la question suivante:
$\mathbb{Z}$ est muni d'une addition, que se passe-t-il quand on additionne deux éléments de la même classe (cf pour la définition ci-dessus), de deux classes distinctes?

On sait que le résultat va appartenir à une classe mais ce n'est pas un renseignement très précieux en soi.

Mais on a un résultat étonnant.
Si tu additionnes deux éléments éléments appartenant à des classes distinctes (ou pas), si tu remplaces l'un ou l'autre de ces entiers par un autre entier issu de la même classe leur somme va appartenir à la même classe.

Exemple:

on prend $n=10$ (c'est facile de diviser par $10$)

On considère deux entiers $2$ et $7$.

$2+7=9$

$-8$ est dans la même classe que $2$. En effet, $-8-2=-10$ et ce nombre est bien divisible par $10$.
$-3$ est dans la même classe que $7$. En effet, $7-(-3)=10$ et ce nombre est bien divisible par $10$.

$(-8)+(-3)=-11$

Et tu peux vérifier que $-11$ et $9$ sont dans la même classe.

On a ainsi l'ensemble des $10$ classes de $\mathbb{Z}$ (deux éléments sont dans la même classe si leur différence est divisible par $10$)qui peut être muni d'une addition issue de l'addition ordinaire des entiers.
(on a une structure de groupe commutatif sur l'ensemble constitué de ces 10 classes).

PS:
1)Dans ce contexte, on s'en cogne que $6+5=11$ ce qui est important est dans quelle classe est $11$

2) Quel rôle joue les restes possibles $0,1,...,9$ dans la division euclidienne par $10$?
Ces nombres appartiennent à des classes distinctes, à ce titre, ils constituent un système de représentants des $10$ classes précédentes.

3) Par exemple, la classe de $1$ modulo $10$ est l'ensemble des nombres de la forme $1+10k$ avec $k$ un entier quelconque.

A moins que l'auteur ait défini précédemment a[c] comme désignant le reste de a dans la division euclidienne par c. Mais alors il ne s'agit pas de modulo.

Cordialement.

Parler de modulo dans la fonction PGCD( . ; . ) induit un mélange des genres.
L'argument devient un ensemble et non un entier, puis le "=" n'a plus le même sens et on devine le bazars dans certaines têtes, ensuite. Voire les choses fausses écrites, par "abus de notation" (je pense à l'ensemble image, aux accolades etc. dans le membre de droite de l'égalité).

Je n'y avais pas fait attention. Je suis généralement dans un cadre amical quand j'interviens dans ce forum.

Cordialement.