Nombre premier
dans Arithmétique
Bonjour,
Voici l'assertion suivante: Tout nombre premier impair est de manière unique la différence de deux carrés d'entiers.
J'arrive à montrer l'existence, en prenant deux entiers consécutifs. Mais je ne vois pas pour l'unicité de la décomposition...
Cordialement
Voici l'assertion suivante: Tout nombre premier impair est de manière unique la différence de deux carrés d'entiers.
J'arrive à montrer l'existence, en prenant deux entiers consécutifs. Mais je ne vois pas pour l'unicité de la décomposition...
Cordialement
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Réponses
Sais-tu que l'on peut factoriser la différence de deux carrés ?
e.v.
idée simple : Une différence de deux carrés se factorise.
Conséquence : les deux entiers sont consécutifs.
La suite est facile. preuve par contraposition : "S'il y a 2 différences, ..."
Cordialement.
Voici mon raisonnement: Soit p premier impair tel qu'il existe deux entiers naturels a et b vérifiant p=a²-b² (on peut supposer a strict supérieur à b).
p=(a-b)(a+b)
p est premier et donc admet comme uniques diviseurs 1 et p. Ce qui implique a+b=p et a-b=1. Donc a=(p+1)/2 et b=(p+1)/2 - 1.
Donc si p est premier, toute décomposition en différence de carrés est nécessairement unique puisque a et b sont consécutifs.
C'est bien valable?
Cordialement.
Merci.
J'ai l'impression que c'est vrai pour tout entier impair supérieur ou égal à 1 en remarquant que $2k+1 = (k+1)^2 - k^2$. Qu'en pensez-vous ? Merci d'avance
cela ne prouve pas l'unicité des deux carrés dont on fait la différence.
l'existence reste vraie mais tu perds l'unicité. Par exemple, $4^2-1^2=8^2-7^2=15$.
LP
https://img4.hostingpics.net/pics/973316exo.jpg
https://img4.hostingpics.net/pics/625790cor.jpg
$24=5^2 - 1^2$
$24=7^2-5^2$
(c'est souvent instructif de lire attentivement les messages déjà postés)
Merci.