Nombre premier
dans Arithmétique
Bonjour,
Voici l'assertion suivante: Tout nombre premier impair est de manière unique la différence de deux carrés d'entiers.
J'arrive à montrer l'existence, en prenant deux entiers consécutifs. Mais je ne vois pas pour l'unicité de la décomposition...
Cordialement
Voici l'assertion suivante: Tout nombre premier impair est de manière unique la différence de deux carrés d'entiers.
J'arrive à montrer l'existence, en prenant deux entiers consécutifs. Mais je ne vois pas pour l'unicité de la décomposition...
Cordialement
Réponses
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Bonjour Aurel.
Sais-tu que l'on peut factoriser la différence de deux carrés ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Bonjour.
idée simple : Une différence de deux carrés se factorise.
Conséquence : les deux entiers sont consécutifs.
La suite est facile. preuve par contraposition : "S'il y a 2 différences, ..."
Cordialement. -
Merci pour vos réponses.
Voici mon raisonnement: Soit p premier impair tel qu'il existe deux entiers naturels a et b vérifiant p=a²-b² (on peut supposer a strict supérieur à b).
p=(a-b)(a+b)
p est premier et donc admet comme uniques diviseurs 1 et p. Ce qui implique a+b=p et a-b=1. Donc a=(p+1)/2 et b=(p+1)/2 - 1.
Donc si p est premier, toute décomposition en différence de carrés est nécessairement unique puisque a et b sont consécutifs.
C'est bien valable? -
Le raisonnement est incomplet : Il pourrait exister deux couples d'entiers consécutifs qui conviennent. Mais en faisant une analyse plus fine de ce que tu as obtenu, tu peux prouver facilement l'unicité.
Cordialement. -
Effectivement, si on se donne a et b naturels tels que (a+1)²-a²=(b+1)²-b² alors a=b.
Merci. -
Ou plus simplement, comme tu as prouvé que a=(p+1)/2, a est unique :-)
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Oui.
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Bonjour à tous, je me permets de faire remonter ce sujet. Qu'en est-il de cet énoncé si l'on enlève la condition de primalité ?Tout nombre impair est de manière unique la différence de deux carrés d'entiers.
J'ai l'impression que c'est vrai pour tout entier impair supérieur ou égal à 1 en remarquant que $2k+1 = (k+1)^2 - k^2$. Qu'en pensez-vous ? Merci d'avance -
Salut invidiaboy
cela ne prouve pas l'unicité des deux carrés dont on fait la différence. -
Bonjour,
l'existence reste vraie mais tu perds l'unicité. Par exemple, $4^2-1^2=8^2-7^2=15$.
LP -
Bien vu ! Merci de vos réponses. En fait, je révise l'arithmétique de terminale S dans le cadre de la préparation au CAPES. Il y a donc une erreur / imprécision dans la réponse à la question 3 de l'exercice 24 (dans le livre du prof Transmath 2012) ?
https://img4.hostingpics.net/pics/973316exo.jpg
https://img4.hostingpics.net/pics/625790cor.jpg -
@Babsgueye : où vois-tu "consécutifs" dans l'énoncé de invidiaboy ou dans celui de l'exercice 24 ci-dessus ?
-
Alors pourquoi nombre impair, et de surcroît primalité ?
$24=5^2 - 1^2$ -
Il n'y a pas, à priori, unicité de cette décomposition si on ne suppose pas le nombre qu'on veut "décomposer" premier.
$24=7^2-5^2$
(c'est souvent instructif de lire attentivement les messages déjà postés) -
Ah ok c'est moi qui avait mal lu. Tout est dit dans le fil.
Merci.
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Bonjour!
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