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Envoyé par aurel12 
Nombre premier
l’an passé
Bonjour,

Voici l'assertion suivante: Tout nombre premier impair est de manière unique la différence de deux carrés d'entiers.

J'arrive à montrer l'existence, en prenant deux entiers consécutifs. Mais je ne vois pas pour l'unicité de la décomposition...

Cordialement
ev
Re: Nombre premier
l’an passé
avatar
Bonjour Aurel.

Sais-tu que l'on peut factoriser la différence de deux carrés ?

e.v.
Re: Nombre premier
l’an passé
Bonjour.

idée simple : Une différence de deux carrés se factorise.
Conséquence : les deux entiers sont consécutifs.
La suite est facile. preuve par contraposition : "S'il y a 2 différences, ..."

Cordialement.
Re: Nombre premier
l’an passé
Merci pour vos réponses.

Voici mon raisonnement: Soit p premier impair tel qu'il existe deux entiers naturels a et b vérifiant p=a²-b² (on peut supposer a strict supérieur à b).
p=(a-b)(a+b)
p est premier et donc admet comme uniques diviseurs 1 et p. Ce qui implique a+b=p et a-b=1. Donc a=(p+1)/2 et b=(p+1)/2 - 1.

Donc si p est premier, toute décomposition en différence de carrés est nécessairement unique puisque a et b sont consécutifs.

C'est bien valable?
Re: Nombre premier
l’an passé
Le raisonnement est incomplet : Il pourrait exister deux couples d'entiers consécutifs qui conviennent. Mais en faisant une analyse plus fine de ce que tu as obtenu, tu peux prouver facilement l'unicité.

Cordialement.
Re: Nombre premier
l’an passé
Effectivement, si on se donne a et b naturels tels que (a+1)²-a²=(b+1)²-b² alors a=b.
Merci.
Re: Nombre premier
l’an passé
Ou plus simplement, comme tu as prouvé que a=(p+1)/2, a est unique smiling smiley
Re: Nombre premier
l’an passé
Re: Nombre premier
il y a six semaines
Bonjour à tous, je me permets de faire remonter ce sujet. Qu'en est-il de cet énoncé si l'on enlève la condition de primalité ?

Tout nombre impair est de manière unique la différence de deux carrés d'entiers.


J'ai l'impression que c'est vrai pour tout entier impair supérieur ou égal à 1 en remarquant que $2k+1 = (k+1)^2 - k^2$. Qu'en pensez-vous ? Merci d'avance
Re: Nombre premier
il y a six semaines
avatar
Salut invidiaboy
cela ne prouve pas l'unicité des deux carrés dont on fait la différence.
LP
Re: Nombre premier
il y a six semaines
Bonjour,

l'existence reste vraie mais tu perds l'unicité. Par exemple, $4^2-1^2=8^2-7^2=15$.

LP
Re: Nombre premier
il y a six semaines
Bien vu ! Merci de vos réponses. En fait, je révise l'arithmétique de terminale S dans le cadre de la préparation au CAPES. Il y a donc une erreur / imprécision dans la réponse à la question 3 de l'exercice 24 (dans le livre du prof Transmath 2012) ?




Re: Nombre premier
il y a six semaines
avatar
@LP 4 et 1 ne sont pas consécutifs.
LP
Re: Nombre premier
il y a six semaines
@Babsgueye : où vois-tu "consécutifs" dans l'énoncé de invidiaboy ou dans celui de l'exercice 24 ci-dessus ?
Re: Nombre premier
il y a six semaines
avatar
Alors pourquoi nombre impair, et de surcroît primalité ?

$24=5^2 - 1^2$
Re: Nombre premier
il y a six semaines
avatar
Il n'y a pas, à priori, unicité de cette décomposition si on ne suppose pas le nombre qu'on veut "décomposer" premier.

$24=7^2-5^2$

(c'est souvent instructif de lire attentivement les messages déjà postés)

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.
Re: Nombre premier
il y a six semaines
avatar
Ah ok c'est moi qui avait mal lu. Tout est dit dans le fil.

Merci.
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