Résolution de 19 divise 10^n - 2
dans Arithmétique
Bonjour je cherche les entiers naturels $n$ tels que :
$19 \ \vert \ 10^n-2$
Dans un premier temps j'ai essayé de résoudre $10u+19v=2$ avec Bezout puis de bricoler pour obtenir $u$ sous forme d'une puissance de 10 mais je n'y arrive pas.
Quelqu'un a-t-il une autre méthode pour m'aider ? Merci.
$19 \ \vert \ 10^n-2$
Dans un premier temps j'ai essayé de résoudre $10u+19v=2$ avec Bezout puis de bricoler pour obtenir $u$ sous forme d'une puissance de 10 mais je n'y arrive pas.
Quelqu'un a-t-il une autre méthode pour m'aider ? Merci.
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Réponses
Tu calcules les résidus des premières puissances de $10$ modulo $19$.
e.v.
et $17$ est le plus petit entier $n$ tel que:
$10^{n}\equiv 2 \mod{19}$
De plus,
$10^{18}\equiv 1 \mod{19}$
et $18$ est le plus petit entier $n>0$ tel que:
$10^{n}\equiv 1 \mod{19}$
PS:
Ce dernier résultat peut être établi avec le petit théorème de Fermat.
Et puis-je conclure que:
$n$ vérifie $10^n \equiv 1 [19]$ si et seulement si $n$ est de la forme $18k$ ?
Dans le sens $\Leftarrow$ Ok mais dans l'autre sens je ne suis pas sûr ?
Du seul fait que $2\times 10=20= 19+1$ et du petit théorème de Fermat on déduit que $10^{17}=\frac{1}{10}10^{18}=\frac{1}{10}=2$ modulo $19$.
En revanche, je ne vois pas qu'on puisse déduire du seul fait que $10^{17}=2$ modulo $19$ le fait que pour que $10^n=1$ modulo $19$ (qui équivaut au fait que $2^n=1$ modulo $19$) il faille que $n$ soit multiple de $18$: on a besoin d'arguments supplémentaires, comme, par exemple, le fait que $2$ n'est pas un carré modulo $19$ (et que donc $n$ doit être pair) et que $2^3\neq1$ modulo $19$ (et que donc $n$ doit être un multiple de $9$). En vérité, ces seuls deux derniers arguments (et le fait que $2$ et $10$ sont inverses modulo $19$) suffisent à prouver que l'ordre de $10$ modulo $19$ est $18$.
Cordialement
Paul
Edit: correction: remplacer, ci-dessus $2^3$ par $2^6$
$18$ est un nombre petit.
Tu peux calculer :
$10^a\mod {19}$ pour $0 <a\leq 17$ et déterminer ainsi le plus petit entier naturel $n$ non nul tel qu'on ait $10^n\mod {19}\equiv 1$
Il faut savoir aussi que ce nombre $n$ divise $18$
Les diviseurs de $18$: $1,2,3,6,9,18$ tu peux te limiter à calculer $10^a\mod {19}$ pour $a=2,3,6,9$
si tu ne trouves jamais $1$ alors la période est $18$ et le nombre $10$ est un générateur du groupe multiplicatif de
l'anneau (corps) $\mathbb{Z}/19\mathbb{Z}$
En espérant n'avoir pas écrit trop d'énormités.