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Suite récurrente rationnelle

Envoyé par pourexemple 
Suite récurrente rationnelle
il y a trois années
avatar
Bonjour,

Déterminer le terme générale de la suite $u_n$ avec $u_0\in \Q^+$ et $u_{n+1}=\frac{{u_n}^2+1}{1+2u_n}$

Bonne journée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: Suite récurrente rationnelle
il y a trois années
bonjour

tu souhaites expliciter le terme général de cette suite récurrente à deux termes consécutifs

c'est un peu lourd mais c'est effectivement possible

remarque : u(0) est rationnel positif, donc tous les termes de la suite le sont aussi : u(n) > 0 quel que soit n

tu changes de suite pour des raisons de clarté en posant :

v(n) = 1 + 2.u(n) avec v(0) = 1 + 2u(0) > 1 puisque u(0) est positif

et ton équation récurrente devient après simplification :

$v_{n+1} = \frac{1}{2}[v_n + \frac{5}{v_n}]$ et tu tombes sur une équation récurrente classique

tu cherches les points fixes c'est-à-dire les valeurs éventuelles de v(0) qui rendraient stationnaire la suite v

soient les solutions de l'équation $2x = x + \frac{5}{x}$ soient $\sqrt{5}$ et $-\sqrt{5}$

tu t'intéresses au rapport $$\frac{v_n - \sqrt{5}}{v_n + \sqrt{5}}$$

qui va te servir à expliciter le terme général v(n); compte tenue de l'équation récurrente en v(n) on trouve :

$\frac{v_n - \sqrt{5}}{v_n + \sqrt{5}} = (\frac{v_{n-1} - \sqrt{5}}{v_{n-1} + \sqrt{5}})^2$

il est aisé de "descendre" la récurrence jusqu'à n = 0 soit :

$\frac{v_n - \sqrt{5}}{v_n + \sqrt{5}} = (\frac{v_0 - \sqrt{5}}{v_0 + \sqrt{5}})^{2^n}$

l'expression $\frac{v_0 - \sqrt{5}}{v_0 + \sqrt{5}}$ est forcément comprise entre - 1 et + 1 (puisque v(0) > 1)

le second membre converge vers 0 et la suite de terme général v(n) converge vers $\sqrt{5}$ d'après le premier membre

et donc la suite de terme général u(n) converge vers $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ quel que soit u(0) rationnel positif

et il est possible d'expliciter v(n) et donc u(n) soit :

$$v_n = \sqrt{5}\frac{(v_0 + \sqrt{5})^{2^n}+(v_0 - \sqrt{5})^{2^n}}{(v_0 + \sqrt{5})^{2^n}-(v_0 - \sqrt{5})^{2^n}}$$

v(0) est rationnel donc le dénominateur ne peut s'annuler et v(n) est bien défini et u(n) aussi

cordialement
Re: Suite récurrente rationnelle
il y a trois années
avatar
Bonsoir,

Bravo.

Bonne soirée.
Re: Suite récurrente rationnelle
il y a deux années
avatar
Bonjour,

Pour le coup il me semble que ce type de suite peut permettre d'établir un protocole d'échange de clef secrète.

Bonne journée.
Re: Suite récurrente rationnelle
il y a deux années
avatar
Bonjour
Dans cette affaire, il y avait une astuce, en effet je serais incapable de faire les calculs qu'a fait Jean.

Soit $f,g,h$ des fonctions tel que $f \circ h=h \circ g$, alors : $f^n \circ h= h\circ g^n$.
Ici, j'ai choisi, $g,f,h$ du type : \begin{align*}
f(x)&=\frac{x^2+1}{2x+1} \\
g(x)&=x^2 \\
h(x)&=\frac{ax+b}{cx+d}
\end{align*} Bonne journée.

[$\LaTeX$ fournit la commande \circ pour l'opérateur de composition. AD]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
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