Suite récurrente rationnelle
dans Arithmétique
Bonjour,
Déterminer le terme générale de la suite $u_n$ avec $u_0\in \Q^+$ et $u_{n+1}=\frac{{u_n}^2+1}{1+2u_n}$
Bonne journée.
Déterminer le terme générale de la suite $u_n$ avec $u_0\in \Q^+$ et $u_{n+1}=\frac{{u_n}^2+1}{1+2u_n}$
Bonne journée.
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Réponses
tu souhaites expliciter le terme général de cette suite récurrente à deux termes consécutifs
c'est un peu lourd mais c'est effectivement possible
remarque : u(0) est rationnel positif, donc tous les termes de la suite le sont aussi : u(n) > 0 quel que soit n
tu changes de suite pour des raisons de clarté en posant :
v(n) = 1 + 2.u(n) avec v(0) = 1 + 2u(0) > 1 puisque u(0) est positif
et ton équation récurrente devient après simplification :
$v_{n+1} = \frac{1}{2}[v_n + \frac{5}{v_n}]$ et tu tombes sur une équation récurrente classique
tu cherches les points fixes c'est-à-dire les valeurs éventuelles de v(0) qui rendraient stationnaire la suite v
soient les solutions de l'équation $2x = x + \frac{5}{x}$ soient $\sqrt{5}$ et $-\sqrt{5}$
tu t'intéresses au rapport $$\frac{v_n - \sqrt{5}}{v_n + \sqrt{5}}$$
qui va te servir à expliciter le terme général v(n); compte tenue de l'équation récurrente en v(n) on trouve :
$\frac{v_n - \sqrt{5}}{v_n + \sqrt{5}} = (\frac{v_{n-1} - \sqrt{5}}{v_{n-1} + \sqrt{5}})^2$
il est aisé de "descendre" la récurrence jusqu'à n = 0 soit :
$\frac{v_n - \sqrt{5}}{v_n + \sqrt{5}} = (\frac{v_0 - \sqrt{5}}{v_0 + \sqrt{5}})^{2^n}$
l'expression $\frac{v_0 - \sqrt{5}}{v_0 + \sqrt{5}}$ est forcément comprise entre - 1 et + 1 (puisque v(0) > 1)
le second membre converge vers 0 et la suite de terme général v(n) converge vers $\sqrt{5}$ d'après le premier membre
et donc la suite de terme général u(n) converge vers $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ quel que soit u(0) rationnel positif
et il est possible d'expliciter v(n) et donc u(n) soit :
$$v_n = \sqrt{5}\frac{(v_0 + \sqrt{5})^{2^n}+(v_0 - \sqrt{5})^{2^n}}{(v_0 + \sqrt{5})^{2^n}-(v_0 - \sqrt{5})^{2^n}}$$
v(0) est rationnel donc le dénominateur ne peut s'annuler et v(n) est bien défini et u(n) aussi
cordialement
Bravo.
Bonne soirée.
Pour le coup il me semble que ce type de suite peut permettre d'établir un protocole d'échange de clef secrète.
Bonne journée.
Dans cette affaire, il y avait une astuce, en effet je serais incapable de faire les calculs qu'a fait Jean.
Soit $f,g,h$ des fonctions tel que $f \circ h=h \circ g$, alors : $f^n \circ h= h\circ g^n$.
Ici, j'ai choisi, $g,f,h$ du type : \begin{align*}
f(x)&=\frac{x^2+1}{2x+1} \\
g(x)&=x^2 \\
h(x)&=\frac{ax+b}{cx+d}
\end{align*} Bonne journée.
[$\LaTeX$ fournit la commande \circ pour l'opérateur de composition. AD]