bonjour
tu souhaites expliciter le terme général de cette suite récurrente à deux termes consécutifs
c'est un peu lourd mais c'est effectivement possible
remarque : u(0) est rationnel positif, donc tous les termes de la suite le sont aussi : u(n) > 0 quel que soit n
tu changes de suite pour des raisons de clarté en posant :
v(n) = 1 + 2.u(n) avec v(0) = 1 + 2u(0) > 1 puisque u(0) est positif
et ton équation récurrente devient après simplification :
$v_{n+1} = \frac{1}{2}[v_n + \frac{5}{v_n}]$ et tu tombes sur une équation récurrente classique
tu cherches les points fixes c'est-à-dire les valeurs éventuelles de v(0) qui rendraient stationnaire la suite v
soient les solutions de l'équation $2x = x + \frac{5}{x}$ soient $\sqrt{5}$ et $-\sqrt{5}$
tu t'intéresses au rapport $$\frac{v_n - \sqrt{5}}{v_n + \sqrt{5}}$$
qui va te servir à expliciter le terme général v(n); compte tenue de l'équation récurrente en v(n) on trouve :
$\frac{v_n - \sqrt{5}}{v_n + \sqrt{5}} = (\frac{v_{n-1} - \sqrt{5}}{v_{n-1} + \sqrt{5}})^2$
il est aisé de "descendre" la récurrence jusqu'à n = 0 soit :
$\frac{v_n - \sqrt{5}}{v_n + \sqrt{5}} = (\frac{v_0 - \sqrt{5}}{v_0 + \sqrt{5}})^{2^n}$
l'expression $\frac{v_0 - \sqrt{5}}{v_0 + \sqrt{5}}$ est forcément comprise entre - 1 et + 1 (puisque v(0) > 1)
le second membre converge vers 0 et la suite de terme général v(n) converge vers $\sqrt{5}$ d'après le premier membre
et donc la suite de terme général u(n) converge vers $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ quel que soit u(0) rationnel positif
et il est possible d'expliciter v(n) et donc u(n) soit :
$$v_n = \sqrt{5}\frac{(v_0 + \sqrt{5})^{2^n}+(v_0 - \sqrt{5})^{2^n}}{(v_0 + \sqrt{5})^{2^n}-(v_0 - \sqrt{5})^{2^n}}$$
v(0) est rationnel donc le dénominateur ne peut s'annuler et v(n) est bien défini et u(n) aussi
cordialement
