Suite récurrente rationnelle
dans Arithmétique
Bonjour,
Déterminer le terme générale de la suite $u_n$ avec $u_0\in \Q^+$ et $u_{n+1}=\frac{{u_n}^2+1}{1+2u_n}$
Bonne journée.
Déterminer le terme générale de la suite $u_n$ avec $u_0\in \Q^+$ et $u_{n+1}=\frac{{u_n}^2+1}{1+2u_n}$
Bonne journée.
Réponses
-
bonjour
tu souhaites expliciter le terme général de cette suite récurrente à deux termes consécutifs
c'est un peu lourd mais c'est effectivement possible
remarque : u(0) est rationnel positif, donc tous les termes de la suite le sont aussi : u(n) > 0 quel que soit n
tu changes de suite pour des raisons de clarté en posant :
v(n) = 1 + 2.u(n) avec v(0) = 1 + 2u(0) > 1 puisque u(0) est positif
et ton équation récurrente devient après simplification :
$v_{n+1} = \frac{1}{2}[v_n + \frac{5}{v_n}]$ et tu tombes sur une équation récurrente classique
tu cherches les points fixes c'est-à-dire les valeurs éventuelles de v(0) qui rendraient stationnaire la suite v
soient les solutions de l'équation $2x = x + \frac{5}{x}$ soient $\sqrt{5}$ et $-\sqrt{5}$
tu t'intéresses au rapport $$\frac{v_n - \sqrt{5}}{v_n + \sqrt{5}}$$
qui va te servir à expliciter le terme général v(n); compte tenue de l'équation récurrente en v(n) on trouve :
$\frac{v_n - \sqrt{5}}{v_n + \sqrt{5}} = (\frac{v_{n-1} - \sqrt{5}}{v_{n-1} + \sqrt{5}})^2$
il est aisé de "descendre" la récurrence jusqu'à n = 0 soit :
$\frac{v_n - \sqrt{5}}{v_n + \sqrt{5}} = (\frac{v_0 - \sqrt{5}}{v_0 + \sqrt{5}})^{2^n}$
l'expression $\frac{v_0 - \sqrt{5}}{v_0 + \sqrt{5}}$ est forcément comprise entre - 1 et + 1 (puisque v(0) > 1)
le second membre converge vers 0 et la suite de terme général v(n) converge vers $\sqrt{5}$ d'après le premier membre
et donc la suite de terme général u(n) converge vers $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ quel que soit u(0) rationnel positif
et il est possible d'expliciter v(n) et donc u(n) soit :
$$v_n = \sqrt{5}\frac{(v_0 + \sqrt{5})^{2^n}+(v_0 - \sqrt{5})^{2^n}}{(v_0 + \sqrt{5})^{2^n}-(v_0 - \sqrt{5})^{2^n}}$$
v(0) est rationnel donc le dénominateur ne peut s'annuler et v(n) est bien défini et u(n) aussi
cordialement -
Bonsoir,
Bravo.
Bonne soirée. -
Bonjour,
Pour le coup il me semble que ce type de suite peut permettre d'établir un protocole d'échange de clef secrète.
Bonne journée. -
Bonjour
Dans cette affaire, il y avait une astuce, en effet je serais incapable de faire les calculs qu'a fait Jean.
Soit $f,g,h$ des fonctions tel que $f \circ h=h \circ g$, alors : $f^n \circ h= h\circ g^n$.
Ici, j'ai choisi, $g,f,h$ du type : \begin{align*}
f(x)&=\frac{x^2+1}{2x+1} \\
g(x)&=x^2 \\
h(x)&=\frac{ax+b}{cx+d}
\end{align*} Bonne journée.
[$\LaTeX$ fournit la commande \circ pour l'opérateur de composition. AD]
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 63 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 313 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres