Moins difficile qu'il n'en a l'air.

Bonjour,

moins difficile qu'il en a l'air :

Soit $u_0 \in \Q$ on note $u_{n+1}=u_n^2-2$.
Calculer le terme général de la suite $v_n=\prod \limits_{i\in [0,n]} u_i$.

Bonne journée.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par jacquot.

Pour $u_0=3$ on a, sauf erreur, $v_n=F_{2^{n+2}}$

avec $F_m$, le m-ième nombre de Fibonacci.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Fin de partie.

Oui, cela me semble exact.

Si $-2\leq u_{0}\leq 2$ soit $\theta =\arccos \frac{u_{0}}{2}$. Alors : $u_{n}=2\cos 2^{n}\theta =\frac{\sin 2^{n+1}\theta }{\sin 2^{n}\theta }$, d'où $v_n$.
Si $u_0>2$, de même en remplaçant $\cos$ par $\cosh$.
On peut sans doute récupérer le beau résultat de Fin de Partie avec les polynômes de Tchebychev.
Inutile de supposer $u_0$ rationnel.
Il me semble qu'on a vu ceci sur ce forum il y a peu.
Bonne fin de dimanche.
F. Ch.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Chaurien.

Bravo.

Il manque le cas $u_0<-2$.

J'ai supposée $u_0\in \Q$ pour être sûr que $u_0$ ne s'annule pas, mais sinon effectivement ce n'est pas nécessaire.

J'aimerais bien savoir où as-tu vu cela ?

Si tu trouves je veux bien le lien, merci.

Bonne fin de journée à toi également.

Le cas $u_0<-2$, c'est comme le cas $u_0>2$ par parité.
J'ai l'impression d'avoir vu ceci il n'y a pas longtemps, mais je ne suis pas certain.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.

Cependant ta suite commence en $u_1$, mais je chipote... encore bravo.

est-ce ici : [www.les-mathematiques.net] ?

ou là : [www.les-mathematiques.net]

Je me suis contenté de calculer les premières valeurs de $v_n$ lorsque $u_0=3$ et j'ai demandé à l'OEIS, s'il connaissait cette suite. Il l'a connait.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)

Question subsidiaire : qu'en est-il du cas où $u_0 \in \C$ ?

Les fonctions : $z\mapsto \cosh z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}$ et $z\mapsto \sinh z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}$ sont des applications surjectives de $\mathbb {C}$ dans $\mathbb {C}$ et vérifient encore : $\cosh 2z=2\cosh ^{2}z-1,\sinh 2z=2\sinh z\cosh z$. La méthode que j'ai proposée s'applique donc.

Bravo.

Les liens que j'ai indiqué sont-ils ceux où tu as vu ce problème, ou est-ce autre part ?

Sinon, pourquoi cosh et sinh sont-elles surjectives ?

Parce que $T^2 - 2aT \pm1 =0$ admet des solutions non nulles dans $\C$ ?

e.v.

Ok, merci.
En effet l'exponentielle prend toute les valeurs sur $\C$ sauf 0.

Je ne sais plus où j'ai vu (ou cru voir) cet exercice. Si je le savais je le dirais.
On a intérêt à observer les propriétés des fonctions usuelles $\exp, \sin, \cos, \tan, \cot, \sinh, \cosh, \tanh, \coth$ sur $\mathbb{C}$ : zéros, périodes, ensemble de définition, ensemble-image. C'est faisable élémentairement, sans recourir à la "grande" théorie de la fonction d'une variable complexe.

J'en déduis que tu ne l'as pas vu dans les liens proposés.

Bonne fin de soirée.

Je reviens sur la contribution de Fin de Partie.
Pourquoi $u_0=3$ ? C'est le plus petit entier naturel pour qui la réponse n'est pas triviale. Premiers termes et OEIS, c'est l'approche moderne et expérimentale.
Je pensais prouver ce résultat avec les polynômes de Tchebychev, et c'est peut-être possible, mais j'ai une autre idée.
On connaît la formule de Binet (Jacques, pas Alfred) pour la suite de Fibonacci : $F_{n}=\frac{\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }$, $\alpha =\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
Si $u_0=3$ et $u_{n+1}^{{}}=u_{n}^{2}-2$ alors par récurrence : $u_{n}^{{}}=\alpha ^{2^{n+1}}+\beta ^{2^{n+1}}$, et par suite : $u_{n}^{{}}=\frac{F_{2^{n+2}}}{F_{2^{n+1}}}$. Etc.
Noter que les $u_n$ sont des nombres de Lucas.
Bonne soirée.
F. Ch.

Tiens, ça me fait penser à un joli exercice, que j'ai peut-être déjà évoqué ici, mais tant pis.
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La suite de Fibonacci est définie par : $F_{0}=0,F_{1}=1,F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ pour $n\geq 2$.
La suite de Lucas est définie par : $L_{0}=2,L_{1}=1,L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}$ pour $n\geq 2$.
Les nombres 1,2,3 sont des termes communs à ces deux suites. Y en a-t-il d'autres ?
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Bonne journée enfin estivale : vive le réchauffement !
F. Ch.

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