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Moins difficile qu'il n'en a l'air.

Envoyé par pourexemple 
Moins difficile qu'il n'en a l'air.
il y a deux années
avatar
Bonjour,

moins difficile qu'il en a l'air :

Soit $u_0 \in \Q$ on note $u_{n+1}=u_n^2-2$.
Calculer le terme général de la suite $v_n=\prod \limits_{i\in [0,n]} u_i$.

Bonne journée.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par jacquot.
Re: Moins difficile qu'il en a l'air.
il y a deux années
avatar
Pour $u_0=3$ on a, sauf erreur, $v_n=F_{2^{n+2}}$

avec $F_m$, le m-ième nombre de Fibonacci.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Moins difficile qu'il en a l'air.
il y a deux années
avatar
Oui, cela me semble exact.
Re: Moins difficile qu'il en a l'air.
il y a deux années
Si $-2\leq u_{0}\leq 2$ soit $\theta =\arccos \frac{u_{0}}{2}$. Alors : $u_{n}=2\cos 2^{n}\theta =\frac{\sin 2^{n+1}\theta }{\sin 2^{n}\theta }$, d'où $v_n$.
Si $u_0>2$, de même en remplaçant $\cos$ par $\cosh$.
On peut sans doute récupérer le beau résultat de Fin de Partie avec les polynômes de Tchebychev.
Inutile de supposer $u_0$ rationnel.
Il me semble qu'on a vu ceci sur ce forum il y a peu.
Bonne fin de dimanche.
F. Ch.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Chaurien.
Re: Moins difficile qu'il en a l'air.
il y a deux années
avatar
Bravo.

Il manque le cas $u_0<-2$.

J'ai supposée $u_0\in \Q$ pour être sûr que $u_0$ ne s'annule pas, mais sinon effectivement ce n'est pas nécessaire.

J'aimerais bien savoir où as-tu vu cela ?

Si tu trouves je veux bien le lien, merci.
Re: Moins difficile qu'il en a l'air.
il y a deux années
avatar
Bonne fin de journée à toi également.
Re: Moins difficile qu'il en a l'air.
il y a deux années
Le cas $u_0<-2$, c'est comme le cas $u_0>2$ par parité.
J'ai l'impression d'avoir vu ceci il n'y a pas longtemps, mais je ne suis pas certain.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
Re: Moins difficile qu'il en a l'air.
il y a deux années
avatar
Cependant ta suite commence en $u_1$, mais je chipote... encore bravo.
Re: Moins difficile qu'il en a l'air.
il y a deux années
avatar
Re: Moins difficile qu'il en a l'air.
il y a deux années
avatar
Re: Moins difficile qu'il en a l'air.
il y a deux années
avatar
Je me suis contenté de calculer les premières valeurs de $v_n$ lorsque $u_0=3$ et j'ai demandé à l'OEIS, s'il connaissait cette suite. Il l'a connait. smiling smiley

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Moins difficile qu'il en a l'air.
il y a deux années
avatar
Question subsidiaire : qu'en est-il du cas où $u_0 \in \C$ ?
Re: Moins difficile qu'il en a l'air.
il y a deux années
Les fonctions : $z\mapsto \cosh z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}$ et $z\mapsto \sinh z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}$ sont des applications surjectives de $\mathbb {C}$ dans $\mathbb {C}$ et vérifient encore : $\cosh 2z=2\cosh ^{2}z-1,\sinh 2z=2\sinh z\cosh z$. La méthode que j'ai proposée s'applique donc.
Re: Moins difficile qu'il en a l'air.
il y a deux années
avatar
Bravo.

Les liens que j'ai indiqué sont-ils ceux où tu as vu ce problème, ou est-ce autre part ?
Re: Moins difficile qu'il en a l'air.
il y a deux années
avatar
Sinon, pourquoi cosh et sinh sont-elles surjectives ?
ev
Re: Moins difficile qu'il en a l'air.
il y a deux années
avatar
Parce que $T^2 - 2aT \pm1 =0$ admet des solutions non nulles dans $\C$ ?

e.v.
Re: Moins difficile qu'il en a l'air.
il y a deux années
avatar
Ok, merci.
En effet l'exponentielle prend toute les valeurs sur $\C$ sauf 0.
Re: Moins difficile qu'il en a l'air.
il y a deux années
Je ne sais plus où j'ai vu (ou cru voir) cet exercice. Si je le savais je le dirais.
On a intérêt à observer les propriétés des fonctions usuelles $\exp, \sin, \cos, \tan, \cot, \sinh, \cosh, \tanh, \coth$ sur $\mathbb{C}$ : zéros, périodes, ensemble de définition, ensemble-image. C'est faisable élémentairement, sans recourir à la "grande" théorie de la fonction d'une variable complexe.
Re: Moins difficile qu'il en a l'air.
il y a deux années
avatar
J'en déduis que tu ne l'as pas vu dans les liens proposés.

Bonne fin de soirée.
Re: Moins difficile qu'il en a l'air.
il y a deux années
Je reviens sur la contribution de Fin de Partie.
Pourquoi $u_0=3$ ? C'est le plus petit entier naturel pour qui la réponse n'est pas triviale. Premiers termes et OEIS, c'est l'approche moderne et expérimentale.
Je pensais prouver ce résultat avec les polynômes de Tchebychev, et c'est peut-être possible, mais j'ai une autre idée.
On connaît la formule de Binet (Jacques, pas Alfred) pour la suite de Fibonacci : $F_{n}=\frac{\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }$, $\alpha =\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
Si $u_0=3$ et $u_{n+1}^{{}}=u_{n}^{2}-2$ alors par récurrence : $u_{n}^{{}}=\alpha ^{2^{n+1}}+\beta ^{2^{n+1}}$, et par suite : $u_{n}^{{}}=\frac{F_{2^{n+2}}}{F_{2^{n+1}}}$. Etc.
Noter que les $u_n$ sont des nombres de Lucas.
Bonne soirée.
F. Ch.
Re: Moins difficile qu'il en a l'air.
il y a deux années
Tiens, ça me fait penser à un joli exercice, que j'ai peut-être déjà évoqué ici, mais tant pis.
......................................................................................................................................
La suite de Fibonacci est définie par : $F_{0}=0,F_{1}=1,F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ pour $n\geq 2$.
La suite de Lucas est définie par : $L_{0}=2,L_{1}=1,L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}$ pour $n\geq 2$.
Les nombres 1,2,3 sont des termes communs à ces deux suites. Y en a-t-il d'autres ?
......................................................................................................................................
Bonne journée enfin estivale : vive le réchauffement !
F. Ch.
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