Moins difficile qu'il n'en a l'air.
dans Arithmétique
Bonjour,
moins difficile qu'il en a l'air :
Soit $u_0 \in \Q$ on note $u_{n+1}=u_n^2-2$.
Calculer le terme général de la suite $v_n=\prod \limits_{i\in [0,n]} u_i$.
Bonne journée.
moins difficile qu'il en a l'air :
Soit $u_0 \in \Q$ on note $u_{n+1}=u_n^2-2$.
Calculer le terme général de la suite $v_n=\prod \limits_{i\in [0,n]} u_i$.
Bonne journée.
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Réponses
avec $F_m$, le m-ième nombre de Fibonacci.
Si $u_0>2$, de même en remplaçant $\cos$ par $\cosh$.
On peut sans doute récupérer le beau résultat de Fin de Partie avec les polynômes de Tchebychev.
Inutile de supposer $u_0$ rationnel.
Il me semble qu'on a vu ceci sur ce forum il y a peu.
Bonne fin de dimanche.
F. Ch.
Il manque le cas $u_0<-2$.
J'ai supposée $u_0\in \Q$ pour être sûr que $u_0$ ne s'annule pas, mais sinon effectivement ce n'est pas nécessaire.
J'aimerais bien savoir où as-tu vu cela ?
Si tu trouves je veux bien le lien, merci.
J'ai l'impression d'avoir vu ceci il n'y a pas longtemps, mais je ne suis pas certain.
Les liens que j'ai indiqué sont-ils ceux où tu as vu ce problème, ou est-ce autre part ?
e.v.
En effet l'exponentielle prend toute les valeurs sur $\C$ sauf 0.
On a intérêt à observer les propriétés des fonctions usuelles $\exp, \sin, \cos, \tan, \cot, \sinh, \cosh, \tanh, \coth$ sur $\mathbb{C}$ : zéros, périodes, ensemble de définition, ensemble-image. C'est faisable élémentairement, sans recourir à la "grande" théorie de la fonction d'une variable complexe.
Bonne fin de soirée.
Pourquoi $u_0=3$ ? C'est le plus petit entier naturel pour qui la réponse n'est pas triviale. Premiers termes et OEIS, c'est l'approche moderne et expérimentale.
Je pensais prouver ce résultat avec les polynômes de Tchebychev, et c'est peut-être possible, mais j'ai une autre idée.
On connaît la formule de Binet (Jacques, pas Alfred) pour la suite de Fibonacci : $F_{n}=\frac{\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }$, $\alpha =\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
Si $u_0=3$ et $u_{n+1}^{{}}=u_{n}^{2}-2$ alors par récurrence : $u_{n}^{{}}=\alpha ^{2^{n+1}}+\beta ^{2^{n+1}}$, et par suite : $u_{n}^{{}}=\frac{F_{2^{n+2}}}{F_{2^{n+1}}}$. Etc.
Noter que les $u_n$ sont des nombres de Lucas.
Bonne soirée.
F. Ch.
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La suite de Fibonacci est définie par : $F_{0}=0,F_{1}=1,F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ pour $n\geq 2$.
La suite de Lucas est définie par : $L_{0}=2,L_{1}=1,L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}$ pour $n\geq 2$.
Les nombres 1,2,3 sont des termes communs à ces deux suites. Y en a-t-il d'autres ?
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Bonne journée enfin estivale : vive le réchauffement !
F. Ch.