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Les concepts de base des formes modulaires

Envoyé par reuns 
Re: Les concepts de base des formes modulaires
il y a trois années
As tu un énoncé précis (hypothèses sur $f$) et des références concernant ``ce'' résultat ?
Re: Les concepts de base des formes modulaires
il y a trois années
@Reuns Si tu veux des exemples de formes modulaires, en voilà dans [www.researchgate.net]

J'adore ce genre de choses : montrer soi-même que les 12 $\eta$-quotients cités sont des formes paraboliques (et même des new-forms) de poids 2 pour tel $\Gamma_0(N)$ (le $N$ est fourni). Cela permet de s'apercevoir que l'on n'a pas tout compris. Par contre, montrer que ce sont les seuls $\eta$-quotients qui ..etc.. est une autre paire de manche(s), je ne m'y frotterais pas.
Re: Les concepts de base des formes modulaires
il y a deux années
Je passe du coq à l'âne : J'ai refait toute la démonstration de Paul Garrett (dont le site est génial) de la convolution de Rankin-Selberg pour les formes modulaires $M_k(\Gamma_0(N))$ qui permet de générer des tas de nouvelles formes modulaires et de fonctions L de la classe de Selberg.

(on devrait pouvoir l'adapter facilement à $\Gamma_1(N)$, ce qui permettrait d'inclure les formes automorphes $M_k(\Gamma_0(N),\chi) \subset M_k(\Gamma_1(N))$)


Et je me demande par exemple s'il serait compliqué de le reformuler en terme de formes automorphes sur $GL_n$, comme dans Kaczorowski p.155

Citation

Rephrasing [www.math.umn.edu]

- Take $\Gamma_0(N)$ a congruence subgroup of $SL_2(\mathbb{Z})$ containing $\scriptstyle\begin{pmatrix}1&1\\ 0 &1\end{pmatrix}$.

- Decompose $\Gamma_0(N) = P \times \Gamma_0(N)/P$ where $P = \{\scriptstyle\begin{pmatrix}1 & n \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ $,n \in \mathbb{Z}\}$.

- Let $$E_s(z) = \sum_{\gamma \in \Gamma_0(N)/P} Im(\gamma z)^s, \qquad\qquad Re(s) > 1$$
By definition, it is $\Gamma_0(N)/P$ invariant, and we will show below it is also $P$ invariant. Therefore $E_s$ is $\Gamma_0(N)$ invariant.

- We'll show below that $\pi ^{-s} \Gamma(s) \zeta(2s) E_s(z)$ is invariant by $s \to 1-s$ and that $E_s$ is $\Gamma_0(N)$ invariant not only for $Re(s) > 1$.

- Take two modular forms $f \in S_k(\Gamma_0(N)),g\in M_l(\Gamma_0(N))$, and let
$$\langle f E_s,g\rangle = \int_{\Gamma_0(N)\setminus \mathbb{H}} f(z) E_s(z)\overline{g(z)} y^{k+l}\frac{dx dy}{y^2}$$
The idea is that $\varphi(z) =f(z)\overline{g(z)}y^{k+l}$ is $\Gamma_0(N) $ invariant. Since $\frac{dx dy}{y^2}$ is a $SL_2(\mathbb{Z})$ invariant measure, thus also $\Gamma_0(N)$ invariant, we can now write that
$$\int_{P\setminus \mathbb{H}} \psi(z)\varphi(z)\frac{dx dy}{y^2} = \sum_{\gamma \in \Gamma_0(N)/P}\int_{\Gamma_0(N)\setminus \mathbb{H}} \psi(\gamma z)\varphi(z)\frac{dx dy}{y^2} $$
and taking $\psi(z) = (Im(z))^s $ :
$$\int_{P\setminus \mathbb{H}} (Im(z))^s\varphi(z)\frac{dx dy}{y^2} = \int_{\Gamma_0(N)\setminus \mathbb{H}} \sum_{\gamma \in \Gamma_0(N)/P}(Im(\gamma z))^s\varphi(z)\frac{dx dy}{y^2} = \langle f E_s,g\rangle$$
- The LHS is much easier to compute : $\displaystyle\int_{P \setminus \mathbb{H}} = \int_0^\infty \int_0^1 $ and since $f(z) = \sum_{n\ge 1} a_n e^{2i \pi n z},g(z) = \sum_{n\ge 0} b_n e^{2i \pi n z}$ we get

$$\langle f E_s,g\rangle =\int_0^\infty \int_0^1 \sum_{n \ge 1,m \ge 0}a_n \overline{b_m} e^{-2\pi y (n+m)}e^{-2\pi(n+m)}y^{k+l+s-2}dxdy$$
$$=\sum_{n \ge 1,m \ge 0}a_n \overline{b_m}\int_0^\infty y^{s+k+l-2}e^{-2\pi(n+m)y}(\int_0^1 e^{2i \pi (n-m)x}dx)dy$$
$$ =\sum_{n \ge 1}a_n \overline{b_n}\int_0^\infty y^{s+k+l-2}e^{-4\pi n y}dy = \Gamma(s+k+l-1)(4\pi)^{k+l-s+1}\sum_{n \ge 1}a_n \overline{b_n} n^{k+l-s+1}$$

By construction $\pi ^{-s} \Gamma(s) \zeta(2s) \langle f E(.,s),g\rangle$ is invariant under $s \to 1-s$, so that $a_n \overline{b_n} n^{k+l}$ are the coefficients of a modular form.

--------------------------------

About the needed properties of the real Eisenstein series $E_s(z)$ :

- Let $\scriptstyle\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix},\begin{pmatrix}e & f\\ c & d \end{pmatrix}$ $\in \Gamma_0(N)$, then $\scriptstyle\begin{pmatrix}e & f\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}e & f\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & af-eb\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $ \in P$


- $$E_s(z) = \sum_{\gamma \in \Gamma_0(N)/P} (Im(\gamma z))^s = \sum_{\gamma \in \Gamma_0(N)/P} \frac{Im(z)}{|cz+d|^{2s}} =\sum_{(c,d), gcd(Nc,d) = 1} \frac{Im(z)}{|cNz+d|^{2s}} $$
Then look at the modified series
$$\tilde{E}_s(z) = \sum_{(c,d) \ne (0,0)} \frac{Im(z)}{|cNz+d|^{2s}} = \sum_{f=1}^\infty \sum_{(c,d), gcd(Nc,d) = 1} \frac{Im(z)}{f^{2s}|cNz+d|^{2s}} = \zeta(2s)E_s(z)$$
$\tilde{E}_s(z)$ is clearly $P$ invariant, therefore $E_s(z)$ is $P$ invariant too.

- It is also easier to put in an integral form. Let $u= (x,y)$ and $\phi(u)= e^{-\pi |u|^2}$ and $\Theta(g) = \sum_{c,d} \phi((c,d)g)$ for some matrix $ g \in GL_2(\mathbb{R})$ and
$$F_s(g) = \int_0^\infty t^{s-1} (\Theta(tg)-1)dt = \pi^{-s}\Gamma(s)\sum_{(c,d) \ne (0,0)} |(c,d)g|^{-2s}$$
choosing $g = \scriptstyle\begin{pmatrix}1&Nx \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sqrt{Ny}&0 \\ 0 & 1/\sqrt{Ny} \end{pmatrix}$ we have $(c,d)g = (\sqrt{Ny}c,\frac{Ncx+d}{\sqrt{Ny}})$ and $|(c,d)g|^2 = \frac{N^2y^2 c^2+ (Ncx+d)^2}{Ny} = \frac{|cN(x+iy)+d|^2}{Ny}$ so that $ F_s(g) = \pi^{-s}N^{s}\Gamma(s) \tilde{E}_s(x+iy)$

- The bi-dimensional Dirac comb $\text{I}\Pi(x,y) = \sum_{c,d} \delta(x-c)\delta(y-d)$ is its own Fourier transform, as $\phi((x,y))= e^{-\pi(x^2+y^2)}$

- And we have the following effect of a linear transformation $g \in GL_2(\mathbb{R})$ on the Fourier transform :
$$\mathcal{F}[h(gx)](\xi) = \int_{\mathbb{R}^n} e^{2i \pi \xi^T x} h(gx)dx = \int_{\mathbb{R}^n} e^{2i \pi \xi^T g^{-1} y} h(y)dg^{-1}y = \frac{1}{\det(g)}\mathcal{F}[h(x)](g^{-T}\xi) $$


- Hence the Poisson summation formula applies
$$\Theta(tg) = \langle \text{I}\Pi,\phi((x,y)tg)\rangle =\langle \text{I}\Pi(x,y),\frac{1}{t}\phi((x,y)g^{-T}/t)\rangle
= \frac{1}{t}\sum_{c,d} \phi((c,d)g^{-T}/t) = \frac{1}{t}\Theta(g^{-T}/t)$$

where $g^{-1} =\scriptstyle \begin{pmatrix}1/\sqrt{Ny}&0 \\ 0 & \sqrt{Ny} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-Nx \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ and $g^{-T} = \scriptstyle\begin{pmatrix}1&0 \\ -Nx & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1/\sqrt{Ny}&0 \\ 0 & \sqrt{Ny} \end{pmatrix}$ .


Note that $(c,d)g^{-T} = (c-dNx,d)\scriptstyle\begin{pmatrix}1/\sqrt{Ny}&0 \\ 0 & \sqrt{Ny} \end{pmatrix}$ $ = (\frac{c-dNx}{\sqrt{Ny}},\sqrt{Ny}d)$, $|(c,d)g^{-T}|^2 = \frac{(c-dNx)^2+ d^2N^2y^2}{N y} = \frac{|Nd(x+iy)-c|^2}{Ny}$ and hence
$$\int_0^\infty t^{s-1} (\Theta(g^{-T}t)-1)dt = \pi^{-s}\Gamma(s)\sum_{(c,d) \ne (0,0)}\frac{N^s y^s}{|Nd(x+iy)-c|^2} = \pi^{-s}N^s\Gamma(s) \tilde{E}_{s}(z)$$
Proving that (for this marticular matrix $g$) : $\ \Theta(g^{-T}t) = \Theta(gt)$ and

- $\displaystyle\int_0^1 t^{s-1} (\Theta(gt)-1)dt=\int_0^1 t^{s-1} (\frac{1}{t}\Theta(g^{-T}/t)-1)dt =\int_1^\infty t^{-s-1} (t\Theta(g^{-T}t)-1)dt$ $\displaystyle =\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s}+\int_1^\infty t^{(1-s)-1} ( \Theta(g^{-T}t)-1)dt
= \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s}+\int_1^\infty t^{(1-s)-1} ( \Theta(gt)-1)dt$
i.e.
$$\int_0^\infty t^{s-1} (\Theta(gt)-1)dt=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s}+\int_1^\infty (t^{s-1}+t^{(1-s)-1} ) ( \Theta(gt)-1)dt$$
and we get the desired formula
$$\Lambda(s,z)=\pi^{-s}\Gamma(s) \tilde{E}_{s}(z)= \pi^{-s}\Gamma(s)\zeta(2s) E_{s}(z)$$
$$\Lambda(1-s,z)=\Lambda(s,z)$$




Edité 9 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par reuns.
Re: Les concepts de base des formes modulaires
il y a deux années
Salut Reuns. Content que tu avances. Pour l'instant, je suis hors course et je risque de le rester un certain temps (pour toujours ?). Je te mets un pointeur, tu connais probablement : un papier de Stephen Gelbart (que je n'ai pas lu, je dis cela mais cela veut probablement dire que je ne peux pas le lire) [www.ams.org].

Bon courage.
Re: Les concepts de base des formes modulaires
il y a deux années
@Claude j'ai une question spécialement pour toi : peux-tu m'expliquer à quoi ressemble $\Gamma_0(N)/\Gamma_1(N)$ ?

Avec $z = x+iy$, soit
$$G_s(z) = \sum_{\gamma \in \Gamma_0(N)/\Gamma_1(N)} (Im(\gamma z))^s =\sum_{\gamma \in \Gamma_0(N)/\Gamma_1(N)} \frac{y^s}{|cz+d|^{2s}}$$
Ensuite comme au-dessus avec
$E_s(z) = \sum_{\gamma \in \Gamma_0(N)/P} (Im(\gamma z))^s = \sum_{\gamma \in \Gamma_1(N)/P}G_s(\gamma z)$
(où $P$ c'est les sous-groupe des matrices $\scriptstyle\begin{pmatrix}1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$)
j'ai pour $f,g \in S_k(\Gamma_1(N))$ :
$$\langle f E_s,g \rangle \overset{def}= \int_{\Gamma_1(N)\setminus \mathbb{H}} f(z)E_s(z)\overline{g(z)} y^{2k} \frac{dxdy}{y^2} = \int_{P\setminus \mathbb{H}} f(z)G_s(z)\overline{g(z)} y^{2k} \frac{dxdy}{y^2} $$
(qui est plus simple car $\displaystyle\int_{P\setminus \mathbb{H}} \ldots dx dy = \int_0^\infty \int_0^1 \ldots dx dy$)
Et donc j'ai besoin de comprendre $G_s(z)$,
Re: Les concepts de base des formes modulaires
il y a deux années
Le quotient $\Gamma_0(N)/\Gamma_1(N)$, c'est canoniquement le groupe des inversibles $(\mathbb Z/N\mathbb Z)^\times$. Disons que :
$$
\Gamma_0(N) \ni A = \pmatrix {a &b\cr c&d \cr} \longmapsto d \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^\times
$$
est surjectif, de noyau $\Gamma_1(N)$ (ce qui prouve que celui est distingué dans $\Gamma_0(N)$).

Mais c'était probablement pas le sens de ta question ``à quoi ressemble ce quotient'' ?

Note : ce que je viens d'écrire est écrit en haut de la page 14 de Diamond & Shurman et c'est bien pour cela que j'ai l'impression de répondre une banalité. Pas le temps de lire le reste.
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