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RH

Envoyé par christophe c 
RH
il y a trois années
(0) Je viens de m'apercevoir qu'il est possible de prouver que RH est décidable** à certaines conditions. Ceci étant dû au fait qu'un très grand nombre de théories sont décidables (essentiellement, les théories d'espaces métriques compacts dotés de prédicats récursifs).

Comme je ne connais rien à Zeta, pour vérifier si elle rentre dans le cadre, quelques questions:

1) Quel est son ensemble de définition ?

2) Peut-on la voir comme une courbe fermée du plan projectif sur $\C$?

3) L'ensemble des couples de disques $(C,D)$ de centres et rayons rationnels tels que $C\times D$ rencontre la courbe de Zeta est-il récursif ?

Bon, j'imagine que c'est banal et connu et qu'ou bien (0) est bien connu, ou bien l'une des réponse à 1-2-3 est non, mais ça ne coûte rien de poser la question.

** $ZFC\vdash RH$ ou $ZFC\vdash non(RH)$.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par jacquot.
Re: RH
il y a trois années
avatar
1) C privé de 1 (pôle simple de résidu 1).

Pour le reste, je n'y comprends rien.
Re: RH
il y a trois années
avatar
Bonjour,

Une démonstration de RH à vérifier (récente pré-publication). En première lecture, ce n'est pas trop nul...

En deuxième lecture, l'article contient des erreurs : la condition $5, b$ ne garantie pas $v(1)=0$ et l'équation différentielle sur $v$ est fausse.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par YvesM.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - 1608.01555.pdf (58.4 KB)
Re: RH
il y a trois années
@christophe c: le comportment de $\zeta(z)$ quand $|z| \to +\infty $ est chaotique... ça va pas trop être fermé dans $\mathbb P_2(\C)$.
[fr.wikipedia.org]
Re: RH
il y a trois années
Merci foys, donc la réponse à la question 2 est non!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: RH
il y a trois années
Il y a des dizaines de formulations équivalentes de RH. Une des plus simples (vu de la logique mathématique) c'est le Robin/Lagarias criterion



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par reuns.
Re: RH
il y a trois années
De mon téléphone : merci!. Je ne sais pas ce que veut dire sigma(n) ni Un (il parle de "harmimonic numbers" ni s'il veut dire "pour tout n". (Critère de Lagarias)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: RH
il y a trois années
Le tout début du papier de Lagarias :


Re: RH
il y a trois années
Merci beaucoup GBMZ!! Effectivement, c'est un énoncé très simple!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: RH
il y a trois années
On peut noter d'ailleurs que ça montre que RH est diophantienne, c'est une affirmation souvent évoquée sur le forum, que je fais, sans jamais mettre d'exemple. La fausseté de l'énoncé E est l'arrêt d'un certain programme bien précis, facile à écrire en C ou n'importe quel autre langage (évidemment il faut disposer de mémoire à volonté)

J'en profite pour préciser un truc qui n'a rien à voir sur mes intentions d'hier soir. En aucun cas, je ne souhaite m'attaquer à RH. Il se trouve juste qu'en réfléchissant à tout autre chose (précisément au fait que toutes les théories** qui s'obtiennent comme celle des corps réels clos, algébriquement clos, etc, bref n'importe quelle théorie qui singe les aventures d'un espace métrique compact doté de prédicats fermés comme parties de $E^{n_i}$ est décidable (ie elles ont un ensemble d'axiomes récursifs et la théorie engendrée est complète par compacité, donc leur ensemble de théorèmes est récursif) j'ai remarqué que la théorie positive*** $(E,adh(zeta),+,.,=)$ est décidable (où $E$ est le compactifié naturel de $\mathbb{C}$) sous des hypothèses faibles de la mettre en axiomes, (ce qui me semble trivial d'après ce que je lis). D'où ma demande de plus amples informations, en particulier est-ce que zeta est fermée?

D'après le lien de foys ça semble être tout à fait autre chose, la réalité.

** En fait, ça faisait suite à un fil sur la décidabilité de la géométrie élémentaire que j'avais ouvert

*** j'entends par là : écrite avec $\exists, \forall, predicats, et, ou$, mais pas non (le "non" transforme un fermé en ouvert, on perd la compacité)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: RH
il y a trois années
Merci Yves pour ton pdf: il est court et au moins, il prétend se référer à du boulot déjà fait et étendre une technique. J'aimerais bien qu'il ait raison le gars, (une preuve de 3 pages grinning smiley posté sur ArXiV en plein mois d'aout, c'est rigolo )

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: RH
il y a trois années
Non c'est n'importe quoi, ses fonctions $b,p,q,r$ n'ont aucun rapport avec $\Xi(t)$,

et notamment il n'a pas utilisé :

- que $\zeta(s)$ a un Euler product

- il n'a utilisé que le fait qu'elle a une équation fonctionnelle (que $\Xi(t)$ est réelle)

et donc sa preuve ne peut pas marcher, parce qu'il existe des tas de séries de Dirichlet omettant l'une ou l'autre de ses hypothèses (mais ressemblant beaucoup à $\zeta(s)$ sur d'autres points) et pour lesquelles RH est fausse



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par reuns.
Re: RH
il y a trois années
J'en reviens à Lagarias: si mes souvenirs sont bons, pour tout $n : exp(H_n)$ est proche de $n$? De toute façon, le membre de droite est analytiquement très régulier. Le membre de gauche $\sigma$ semble plus erratique (il n'est régulier qu'en tant que fonction qui à une écriture en produit de facteurs premiers associe l'image)

Y - a - t - il des bons documents (en français) sur $\sigma$? Faciles à lire et avec peu de calculs?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: RH
il y a trois années
J'ai fait un petit tour sur wikipedia et reviens avec des courses grinning smiley

Citation

Le critère de Robin (du mathématicien français Guy Robin, en 19848) stipule que
l'hypothèse de Riemann est vraie
si et seulement si
$\sigma (n)<n{{\rm {e}}}^{{\gamma }}\ln(\ln(n)) $
pour tout $n \geq $ 5 041.

Pas mal!!!



Une question: l'anneau unitaire et commutatif évoqué dans :
[fr.wikipedia.org]

Qu'est-ce qu'il a comme propriétés nommées de la théorie des anneaux? (Bézout, noethérianité, factorialité, localité, produit de blabla, etc)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
paf
Re: RH
il y a trois années
À ma connaissance, $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} H_n - \ln n = \gamma\simeq 0,57$ ($\gamma$ étant la constante d'Euler).

Sur $\sigma$, rien que [fr.wikipedia.org] me paraît déjà bien.
Re: RH
il y a trois années
@Christophe C. L'anneau des fonctions arithmétiques est intègre (ce n'est pas si trivial que ça dans ce cadre), mais n'est ni noethérien, ni artinien. Voir par exemple le petit livre de Bordellès, Thèmes d'Arithmétique, Ellipses, 2006 page 114.

À noter aussi que si on le munit du produit de convolution unitaire, alors il perd son intégralité.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par noix de totos.
Re: RH
il y a trois années
De mon téléphone : merci beaucoup!!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: RH
il y a trois années
De mon clavier : de rien ! smiling smiley
Re: RH
il y a trois années
Mince, j'ai oublié de profiter de la participation de NdT pour poser LA question que je voulais poser (ou reposer) l'autre jour et je croyais l'avoir fait: ci-dessus apparaissent des équivalents de RH. Où peut-on trouver une liste d'énoncés, encore ouverts, qui impliquent RH?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: RH
il y a trois années
avatar
Il me semble que la conjonction de RH et de la conjecture de corrélation par paires de Montgomery implique la conjecture d'orthonormalité de Selberg, en partie démontrée du côté automorphe, et qui serait donc potentiellement plus forte que RH. Noix de totos saura sans doute me corriger si besoin.
Re: RH
il y a trois années
Il y a cette liste que j'aime bien : [mathoverflow.net]
et il y a en déjà beaucoup dans [fr.wikipedia.org]

mais ce sont des critères équivalents à RH, il y a bien plus de critères qui impliquent RH (certains y mettent comme exemple "que ZFC est incohérente" implique RH), mais l'exemple le plus intéressant à mon avis étant la conjecture de Mertens (on sait maintenant qu'elle est fausse, mais en la changeant légèrement elle devient équivalente à RH, qui est que $\text{Mertens}(x) = \mathcal{O}(x^{1/2+\epsilon})$)

PS : Sylvain c'est quoi le rapport ?



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: RH
il y a trois années
Merci beaucoup mais dans aucun des 2 liens je n'ai trouvé d'implicateurs. Par contre il ya beaucoup d'équivalents!!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: RH
il y a trois années
C'est parce que l'immense majorité des énoncés (intéressants) qui impliquent RH sont "trivialement" (pour ceux qui connaissent bien RH) équivalents à RH, au moins après une légère modification (par exemple le critère de Lagarias ou Robin a une version qui implique trivialement RH, et une autre trivialement impliquée par RH, leur travail a été d'en faire une version équivalente et qui soit très jolie/simple)

Je dirais que l'un des rares qui est beaucoup moins trivialement lié à RH c'est l'hypothèse de Lindelöf, qui concerne la rapidité avec laquelle $\sup_{t < T}|\zeta(\sigma+it)|$ croit quand $T \to \infty$, qui associé avec l'idée "qu'en gros $\frac{1}{\zeta(s)}$ ressemble beaucoup à $\zeta(s)$ pour $Re(s) > \sigma_0$" ($\sigma_0 = 1/2$ étant RH) donne des indications sur la vitesse avec laquelle $\sup_{t < T} \frac{1}{|\zeta(\sigma+it)|}$ croit (et donc sur $\sigma_0$).

Dans le genre moins trivial on peut aussi citer les énoncés sur la distribution des zéros de $\zeta'(s)$, et ceux sur les coefficients de la série de Laurent de $\zeta(s)$ ou $\xi(s)$ en $s=1$, et plus généralement ceux sur les propriétés de la fonction entière $\xi(s)$ (liée à un opérateur dont le fait qu'il soit auto-adjoint impliquerait RH, c'est l'idée du pdf plus haut)

Il y a aussi beaucoup d'énoncés sur les caractères de Dirichlet (en lien avec ça et ça ou ça ou ça) qui pourraient impliquer l'hypothèse de Riemann généralisée sachant qu'il y a un "repulsion/conspiracy phenomenom" entre les valeurs de $L(s,\chi)$ à différents $s$ et à différents $\chi$, phénomène dû en gros au fait que ce sont des fonctions holomorphes (sauf $\zeta(s)$ en $s=1$) et que les coefficients $\chi(n)$ sont très réguliers (complètement multiplicatifs, périodiques, et ressemblant aux $e^{2 i \pi k n / N}$ de la transformée de Fourier discrète dont on aurait permuté les $n$) (une des meilleures sources sur la vulgarisation de ces concepts c'est le blog de Terrence Tao)



Edité 11 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: RH
il y a trois années
Voilà un autre énoncé qui implique RH (Corollary 2.6) : [www.emis.de]
Re: RH
il y a trois années
De mon téléphone merci beaucoup @réunis et NdT! J'ai l'impression que la plupart des énoncés accessibles aux néophytes énoncent des vitesse de convergence.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: RH
il y a trois années
De mon téléphone hélas encore. Je note p(n) le n ieme nombre premier et t(n):= 1/p(1)+1/p(2)+...+1/p(n)

J'ai un vague souvenir que t(n)/ln(ln(n)) tend vers 1 ou en tout cas une constante en n infini

On a probablement prouvé j'imagine que n|----> sigma(n)/(t(n)×n) est bornée?

Si oui il ya certains nombres K tel que RH équivaut à borne ci-dessus <= K puis comme ça on a que des fonctions arithmétiques. Bon c'est pas qu'elles sont plus faciles mais c'est toujours ça?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par christophe c.
Re: RH
il y a trois années
petit cours rapide sur pourquoi $\zeta(s)$ est utile en arithmétique :

Il y a deux idées principales derrière $\zeta(s)$ et plus généralement les séries de Dirichlet :
- la première c'est que la convolution de Dirichlet $a \ast b(n) = \sum_{d | n} b(d) a(n/d)$ est parfaitement compatible avec la factorisation en nombres premiers, et les fonctions multiplicatives (voir wiki/Euler product)
- la deuxième c'est que la "singularité dominante" de $F(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s} = s \int_1^\infty \sum_{n < x} a_n x^{-s-1}dx$ détermine la vitesse à laquelle croit $\sum_{n < x} a_n$. (ce n'est pas vrai avec toutes les séries de Dirichlet, mais avec $\zeta(s)$ et les fonctions qui sont liées, ça l'est presque toujours)

par exemple avec $a_n = 1$, on a $ \sum_{n < x} a_n \sim x$, et $s \int_1^\infty x x^{-s-1} dx = \frac{s}{s-1}$, et justement le pôle dominant de $\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$ est en $s=1$ où $\zeta(s) \sim \frac{s}{s-1}$.

avec $\zeta(s)\zeta(s-1) = \sum_{n=1}^\infty \sigma(n) n^{-s}$, son pôle dominant est en $s=2$, où $\zeta(s)\zeta(s-1) \sim \frac{\zeta(2)}{s-2}$, et vu que $\frac{\zeta(2)}{s-2} \sim \frac{\zeta(2) s / 2}{s-2} = s \int_1^\infty \frac{\zeta(2)}{2} x^2 x^{-s-1}dx$ on a que $\sum_{n < x} \sigma(n) \sim \frac{\zeta(2)}{2} x^2$.

encore plus important, $\ln \zeta(s) = \sum_{p^k} \frac{(p^{k})^{-s}}{k} $ (voir wiki/Euler product) dont la singularité dominante est en $s=1$ où $\ln \zeta(s) \sim -\ln(s-1)$, donc $\sum_{p < x} 1 \sim \sum_{p^k < x} \frac{1}{k} \sim \frac{x}{\ln x}$ (c'est le raisonnement de Dirichlet qui lui faisait croire qu'il avait prouvé le théorème des nombres premiers, mais en fait il n'avait pas vérifié que $s=1$ était bien une singularité dominante de $\ln \zeta(s)$, c'est à dire qu'il a oublié de vérifier que $\zeta(s)$ n'a pas d'autre zéro sur $Re(s) = 1$, et quelques autres détails techniques)

vu qu'on a aussi $\ln \zeta(s+1) = \sum_{p^k} \frac{(p^{k})^{-s}}{p^k k}$, singularité dominante $\ln \zeta(s+1) \sim -\ln(s)$, obtient que $\sum_{p < x} \frac{1}{p} \sim \ln \ln x$.

l'hypothèse de Riemann elle s'occupe du terme d'erreur de ces équivalents, c'est à dire de quelle est la singularité dominante de $\ln(s-1)+\ln \zeta(s) $. Si elles sont en $Re(s) = 1/2$, alors $-\frac{x}{\ln x} + \sum_{p < x} 1 = \mathcal{O}(x^{1/2+\epsilon})$ (le $\epsilon$ c'est parce que dans ce cas il y a une infinité de singularités en $Re(s)=1/2$).

enfin, $\sum_{n < x} \sigma(n) \sim \frac{\zeta(2)}{2} x^2$ nous dit qu'en moyenne $\sigma(n) \approx \zeta(2) n$. Le critère de Robin/Lagarias s'occupe des $n$ pour lesquels $\sigma(n)$ est un peu plus grand : quand $n = \prod_{p < k} p$ (un primorial), et alors vu que $ \prod_{p < k} p \sim e^k$, on a $k \sim \ln n$, et $\sigma(n) = n\prod_{p | n} 1+\frac{1}{p} \sim n e^{\gamma + \sum_{p < k} \frac{1}{p}} \sim n e^{\gamma + \ln \ln k} \sim n e^{\gamma}\ln \ln n $,
et sous RH, cet équivalent est aussi une borne supérieure, ce que Robin a prouvé : $$\sigma(n) < n e^{\gamma}\ln \ln n$$



Edité 14 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: RH
il y a trois années
De mon téléphone Merci reuns pour ce cours. Ça va me faire de la lecture pour mes 8H de train

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: RH
il y a trois années
J'ai peu lu et plus regardé les paysages sachant que je suis trop incompétent en homomorphisme. Mais j'en tire quand même que tu confirmes donc bien que RH équivaut à majorer* des suites issues de l'arithmétique relativement "simples" (sans parler des fonctions analytiques que sont exp et log par exemple).

Exemple: majorer sigma(n)divisé par (w(n)fois n) où w(n)est la somme des inverses des nombres premiers jusqu'à n.

On peut faire une course à l'échalote jusqu'à simplifier le plus possible cette suite (sans changer sa vitesse de croissance à l'infini et obtenir des bons énoncés accessibles à tous les amateurs?

De mon téléphone.

PS: parce que e puissance gamma ou autre chose grinning smiley ça reste des constantes réelles bien mystérieuses toute façon?

* par de bonnes constantes.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par christophe c.
Re: RH
il y a trois années
avatar
Citation
cc
obtenir des bons énoncés accessibles à tous les amateurs?

Par exemple, l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si $1=1$. Mais c'est trés difficile à démontrer.

Un habitant de $\varnothing$
Re: RH
il y a trois années
est ce que par hasard les zeros de partie imaginaire positive sont stables par multiplication?
Re: RH
il y a trois années
je dirais non super power

et pour christophe, la GRH implique RH et pas l'inverse.

yvesm, le mec a retiré son papier? le lien marche pas ou plus.
Re: RH
il y a trois années
C'est quoi la différence entre RH et HR? Entre GRH et HRG?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Joaopa.
Re: RH
il y a trois années
Hypothèse de Riemann généralisée.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: RH
il y a trois années
J'avoue ne pas vraiment saisir l'intervention de Joaopa : si celui-ci était arithméticien, il saurait que ces abréviations sont usuelles dans ce domaine, et ce sous la forme anglo-saxone (on peut le regretter, mais c'est ainsi). Il y en a d'ailleurs d'autres dans cette veine-là, comme par exemple ERH (pour Extended Riemann Hypothesis, qui concerne notamment l'hypothèse de Riemann pour les fonctions zêta de Dedekind et assimilées).

Dans les articles francophones, on évite généralement le recours à ces abréviations, préférant assez souvent (mais pas tous le temps) écrire l'hypothèse en toute lettre.

Mais bon, sur un forum, on peut accepter tout type de symbolique, pour peu que l'auteur rappelle leur signification (comme par exemple Chaurien lorsqu'il parle de CSSA).
Re: RH
il y a trois années
Peut-on comme pour RH produire quelques énoncés pour "néophytes" (à la Lagarias) qui entrainent les GRH et sont encore ouverts (ie non prouvés faux)?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: RH
il y a trois années
noix de totos: pour avoir suivi des exposés sur les hypothèses de RIemann en français, je peux dire que les intervenants utilisent les abréviations françaises. Après, qu'on utilise les abréviations anglaises dans des articles anglais, ça va de soi. Mais pas sur un forum francophone.
Re: RH
il y a trois années
C'est ton opinion, qui est tout à fait respectable...Mais la mienne aussi, que je répète : sur ce type de forum, qui n'est pas une plateforme professionnelle, je pense que toute abréviation peut être utilisée à condition que l'auteur la définisse.
Re: RH
il y a trois années
L'anglais scientifique n'a pas grand chose à voir avec l'anglais courant ou l'anglais littéraire, c'est une nouvelle langue que les scientifiques ont inventé pour leurs besoins, et c'est celle qui est utilisée sur internet, qui donne des résultats sur les moteurs de recherche, et donc c'est celle que tout le monde doit utiliser, point final.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
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