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sommes de Kloostermann

Envoyé par df 
df
sommes de Kloostermann
il y a quatre années
Bonjour à tous !

J'aurais besoin d'une petite aide concernant un aspect purement calculatoire d'un exercice sur les sommes exponentielles.

Soit $p$ est un nombre premier impair, $n$ un entier non divisible par $p$ et $\alpha$ un entier positif.
Pour tout entier $h$ tel que $(h, p^\alpha)=1$, $\bar{h}$ représente toute solution de la congruence $h\bar{h} \equiv 1 \pmod {p^\alpha}$.

La somme de Kloostermann est alors définie par:
\begin{eqnarray}
A_{p^\alpha}(n) = \sideset{}{'}\sum_{h \pmod {p^\alpha}} \exp(2 \pi i n (h + \bar{h})/p^\alpha) \qquad (1.1)
\end{eqnarray}
L'apostrophe (') indique que l'indice de sommation parcours seulement un système réduit de résidus modulo $p^\alpha$…

Qualifiées d'"objets ésotériques" par certains auteurs, les sommes de Kloostermann peuvent se prêter à des calculs "élémentaires".

Si $\alpha=1$, on a la transformation:
\begin{equation}
A_p(n) = \sum_{r \pmod p} (r^2 - 4 \mid p) \exp(2 \pi i n r / p) \qquad (1.2)
\end{equation}
$(n \mid p)$ désignant le symbole de Legendre…

Mais quelqu'un sait-il comment on obtient l'égalité suivante:
\begin{equation}
A_p(n)= \sum_{r \pmod p} \quad \sideset{}{'} \sum_{\substack {h+ \bar{h} \equiv r \pmod p \\ h \pmod p}} \exp\big(2 \pi i n(h+\bar{h})/p\big) \qquad (1.3)
\end{equation}
Le corrigé (en anglais) de l'exercice indique que l'égalité ci-dessus a été obtenue en rassemblant dans l'égalité (1.1) les termes pour lesquels $h + \bar{h}$ a la même valeur $r$.
Mais cela reste assez flou. Si quelqu'un peut rajouter des précisions techniques ou à défaut d'explications, un exemple numérique concret pour illustrer cela…

Merci !

P.S: si $\alpha=1$, $A_p(n)$ n'est pas connue en général mais André Weil a obtenu $\mid A_p(n) \mid < 2p^{1/2}$…



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: sommes de Kloostermann
il y a quatre années
Pas grand-chose à dire de plus que ce qu'il y a dans le corrigé : il s'agit d'un changement de variable, évident ici vu la présence de la somme $h + \overline{h}$ où l'on souhaite passer de deux variables à une.

Exemple. $p=13$. Tu peux noter que $h + \overline{h} \bmod 13 \in \{0,1,2,4,9,11,12 \}$, $0$ étant pris une fois, $1$ deux fois, $2$ deux fois, $4$ deux fois, $9$ deux fois, $11$ une fois et $12$ deux fois.
df
Re: sommes de Kloostermann
il y a quatre années
Merci pour ta réponse ! Ces sommes exponentielles sont nouvelles pour moi et des exemples concrets ne sont pas du luxe (me concernant …!)

Très bonne journée.

davidf…
Re: sommes de Kloostermann
il y a quatre années
De rien, et bonne journée.
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