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Somme de coefficients binomiaux

Envoyé par Mrocdemorgat 
Somme de coefficients binomiaux
il y a quatre années
Bonjour.
Pourriez-vous m'aider à montrer que $$\forall n \geq 0, \quad \sum_{k=0}^{n} \binom{n+k} k \frac{1}{2^k}=2^n $$ Merci d'avance !



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par AD.
Re: Somme de coefficients binomiaux
il y a quatre années
Avec la relation du triangle de Pascal on obtient $u_{n+1}=2u_n$.
Re: Somme de coefficients binomiaux
il y a quatre années
J'ai retrouvé une démonstration combinatoire.
On considère l'ensemble $A$ des suites de longueur $2n+1$ formées de 0 et de 1 et possédant au moins $n+1$ fois le 1.
Par symétrie le cardinal de $A$ se calcule aisément.
$A$ est la réunion pour $k$ de 0 à $n$ des $A_k$ où $A_k$ est l'ensemble de ces suites ayant exactement $k$ fois le 0 avant le $(n+1)^{\text ème}$ 1.
Le cardinal de $A_k$ se calcule aisément d'où le résultat.

Il y a aussi une généralisation posée au concours général en 1985:
$\displaystyle\sum_{k=0}^q\dfrac{\binom{p+k}k}{2^{p+k}}+\sum_{k=0}^p\dfrac{\binom{q+k}k}{2^{q+k}}=2$.
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