Somme de coefficients binomiaux

J'ai retrouvé une démonstration combinatoire.
On considère l'ensemble $A$ des suites de longueur $2n+1$ formées de 0 et de 1 et possédant au moins $n+1$ fois le 1.
Par symétrie le cardinal de $A$ se calcule aisément.
$A$ est la réunion pour $k$ de 0 à $n$ des $A_k$ où $A_k$ est l'ensemble de ces suites ayant exactement $k$ fois le 0 avant le $(n+1)^{\text ème}$ 1.
Le cardinal de $A_k$ se calcule aisément d'où le résultat.

Il y a aussi une généralisation posée au concours général en 1985:
$\displaystyle\sum_{k=0}^q\dfrac{\binom{p+k}k}{2^{p+k}}+\sum_{k=0}^p\dfrac{\binom{q+k}k}{2^{q+k}}=2$.