Une inégalité avec $\binom{2n}{n}$
dans Arithmétique
Bonjour à tous,
Connaissez-vous une preuve directe, sans récurrence, de l'inégalité suivante (valable pour $n \geqslant 1$) :
$$
\displaystyle \binom{2n}{n} \ \geqslant \ \dfrac{4^n}{2 \sqrt n}
$$
Merci pour vos idées.
Clairon
Connaissez-vous une preuve directe, sans récurrence, de l'inégalité suivante (valable pour $n \geqslant 1$) :
$$
\displaystyle \binom{2n}{n} \ \geqslant \ \dfrac{4^n}{2 \sqrt n}
$$
Merci pour vos idées.
Clairon
Réponses
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Par récurrence :
$${2n+2 \choose n+1} = \frac{2(2n+1)}{n+1} {2n \choose n} > \frac{2(2n+1)4^n}{(n+1) 2 \sqrt n} = \frac{2(2n+1)4^n}{\sqrt{4n(n+1)} \sqrt{n+1}} > \frac{4^{n+1}}{2 \sqrt{n+1}}$$
où l'on a utilisé à la dernière inégalité le fait que $2n+1 > \sqrt{4n(n+1)}$. -
Merci noix de totos : on a la même preuve !
Et sans récurrence (ce qui est l'objet de mon post) ? -
Oui, preuve classique (voir par exemple Sierpinski, Elementary Theory of Numbers).
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Non, c'était écrit avant.
Mais je viens de le mettre en couleur ! -
n'est-ce-pas là un marronnier du site ??? on devrait pouvoir retrouver des versions dans des posts antérieurs ...
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En même temps, on pourrait prétendre que remarquer que
$\frac{2(2n+1)}{n+1}>\frac{4\sqrt{n-1}}{\sqrt{n+1}}$
et faire le produit n'est pas une preuve par récurrence. Bien sûr, c'est un peu de la triche, mais (sauf dans une copie de capes), qui rédigerait une récurrence pour l'inégalité $n!\ge 2^{n-1}$ pour $n\ge 2$ ? -
Pour aller dans le sens de ce que dit alea, on montre facilement que la suite $u_n=\dfrac1{4^n}\dbinom{2n}{n}\sqrt n$ est croissante, donc $u_n\geq u_1=\frac12$ pour $n\geq1$.
L'utilisation de la formule de Stirling n'est pas nécessaire pour montrer cette inégalité très simple. -
Tout à fait d'accord avec toi aléa.
Je te remercie, j'avais pas vu que tout reposait sur cette inégalité !
Du coup, je détaille.
On a
$$
\binom{2n}{n}
\ = \ \dfrac{2^n}{n!} \ \prod_{k=1}^n(2k-1)
\ = \ 2^n \ \prod_{k=2}^n \dfrac{2k-1}{k}
$$
Or (élever au carré pour s'en convaincre)
$$
2\sqrt{\dfrac{k-1}{k}} \ < \ \dfrac{2k-1}{k}
$$
D'où, en faisant le produit (télescopique à gauche) pour $k = 2...n$ et en multipliant par $2^n$ :
$$
2^n 2^{n-1} \dfrac{1}{\sqrt n}
\ < \
\binom{2n}{n}
$$
Joli coup, merci encore aléa -
J'ai dû répondre vite ce matin...Maintenant, si ça ne convient pas ou si ça ne plaît pas, vous pouvez jeter mes messages.
(Personnellement, je préfère quand même l'outil Stirling, très utilisé dans bon nombre de situations...). -
La démonstration que j'ai proposée est pratiquement la même que celle proposée par noix de totos, j'ai simplement "caché" la récurrence dans la propriété: si la suite $(u_n)$ est croissante alors $u_n\geq u_1$.
Mais c'est vrai qu'on a souvent besoin de la formule de Stirling. -
Oui, le réflexe "Stirling" est à prendre en compte, me semble-t-il, dès que l'on parle de coefficients binomiaux (la plupart des articles traitant des majorations et minorations des coefficients binomiaux, comme celui de Stanic par exemple, ne font pas autrement).
Par ailleurs, la minoration obtenue ci-dessus à l'aide de Stirling (qui m'a pris en tout et pour tout 2 à 3 minutes max) est nettement meilleure que celle proposée ici.
Mais je n'avais pas saisi que Clairon voulait une preuve "élémentaire".
Mais au fait : pourquoi préciser "sans récurrence" ? -
Bonjour,
Une autre méthode que je décris trop rapidement :
- écrire $\displaystyle C_{2n}^{n} = \frac{1}{n}B(n, n+1)$ avec $B$ fonction beta et choisir cette expression $\displaystyle B(n,n+1) = \int_{0}^{1} dt t^n (1-t)^{n-1}$
- étudier les fonctions $\displaystyle f: t \mapsto t^n (1-t)^{n-1}$
- (le côté interessant) montrer que l'aire sous la courbe est supérieure à l'aire d'un rectangle sous la courbe...
- écrire l'inégalité à démontrer et manipuler algébriquement pour simplifier...
- faire une étude de fonction pour conclure... -
noix de totos a écrit:Par ailleurs, la minoration obtenue ci-dessus à l'aide de Stirling (qui m'a pris en tout et pour tout 2 à 3 minutes max) est nettement meilleure que celle proposée ici.
Mais je n'avais pas saisi que Clairon voulait une preuve "élémentaire".
Mais au fait : pourquoi préciser "sans récurrence" ?
J'aime bien la récurrence. Mais parfois (souvent) j'aime bien aussi les preuves "directes".
Quant à Stirling, je comprends que cela soit très utile pour certains matheux. Bon, là, pour des prépas ECS, c'est pas trop exploitable.
Voilà, tu sais tout ! -
@Clairon : merci pour les infos.
-
@YvesM,
il est plus probable que $\displaystyle{\binom{2n}{n} = \dfrac{1}{n} \dfrac{1}{\beta(n,n+1)}}$ ... -
L'idée d'utiliser la fonction Bêta est surtout féconde pour estimer les (sommes d') inverses de coefficients binomiaux, via
$${n \choose k}^{-1} = (n+1) \int_0^1 t^k (1-t)^{n-k} \, \textrm{d}t.$$
Tant qu'on y est dans les idées fécondes, les spécialistes ont plutôt tendance à utiliser l'égalité suivante
$${2n \choose n} = \frac{4^n}{\sqrt \pi} \times \frac{\Gamma (n + \frac{1}{2})}{\Gamma(n+1)}$$
puis à se servir des innombrables résultats existant dans la littérature concernant la fonction Gamma.
Voir par exemple http://www.luschny.de/math/factorial/approx/SimpleCases.html -
Quelques remarques.
1. Je ne vois pas pourquoi s'interdire la récurrence, qui est le procédé de démonstration le plus adapté à ce genre de problème, et dont la maîtrise est importante en CPGE, et devrait l'être en une Terminale Scientifique digne de ce nom.
2. Si toutefois on s'impose cette bizarre contrainte, la démonstration la meilleure est celle de Jandri, croissance de la suite $u_n=\dfrac1{4^n}\dbinom{2n}{n}\sqrt n$. Les esprits chagrins y verront peut-être une récurrence cachée, mais bon, faut pas pousser.
3. Je ne vois pas pourquoi mobiliser les Fonctions Eulériennes Bêta ou Gamma pour prouver une inégalité aussi simple. Qu'on en conserve l'étude pour résoudre des problèmes plus profonds.
4. Je croyais que la formule de Stirling était une formule locale, disant ce qui se passe au voisinage de $+\infty$, alors je ne vois pas comment elle pourrait nous renseigner sur le comportement global de cette suite.
5. Avant Stirling il y a Wallis, qui se traite en exercice dans toutes les CPGE première année et devrait se traiter en uneTerminale Scientifique digne de ce nom. La démonstration des propriétés des intégrales de Wallis donne des inégalités qui impliquent l'inégalité proposée.
Bonne soirée.
F. Ch. -
@Chaurien : la formule de Stirling que l'on apprend en classe de CPGE est locale, mais c'est l'aboutissement d'un processus global.
Il existe dans la littérature différentes versions de Stirling sous forme d'inégalités effectives. Celle que j'ai utilisée stipule que, pour tout $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$
$$\left( \frac{n}{e} \right)^n \sqrt{2 \pi n} \times e^{\frac{1}{12n+1}} \leqslant n! \leqslant \left( \frac{n}{e} \right)^n \sqrt{2 \pi n} \times e^{\frac{1}{12n}}.$$
Inégalités corrigées après l'intervention d'ezmaths ci-dessous, que je remercie.
C'est la plus connue, mais il y en a d'autres.
Lorsque j'ai eu à enseigner en CPGE, je me servais de cet exemple pour faire comprendre la différence local / global.
Comme disait Dieudonné : L'analyse, c'est minorer / majorer / approcher. S'il est très bien de connaître un certain nombre de dominations ou d'équivalents, il faut aussi, à mon avis, connaître les inégalités effectives qui y sont associées. Par exemple, c'est une bonne chose de savoir que, pour tout $\varepsilon > 0$ et tout $x > 0$, $\log x = O \left( x^\varepsilon \right)$, mais je trouve tout aussi utile de savoir que, pour tout $a , x > 0$
$$\log x \leqslant \frac{a}{e} x^{1/a}.$$
Cela permet concrètement d'avoir une idée de l'ordre de grandeur de la constante impliquée dans le "grand O", ce qui, dans certains calculs, permet d'éviter des erreurs grossières de manipulations hasardeuses de ces "grands O". De plus, cette inégalité est très simple à démontrer via une étude de fonction. Pourquoi s'en priver ? -
Bonne nuit,
NdT, je ne connaissais pas Stirling sous la forme d'une telle inégalité.
Aurais tu une référence vers une preuve sur la toile ?
Cordialement,
Rescassol -
@noix de totos,
le terme d'ordre 1 étant $\dfrac{1}{12n}$ dans le facteur correctif de $n!$, l'encadrement marcherait mieux avec $12n_{+0}^{+1}$ au lieu de $2n_{+0}^{+1}$ dans les exponentielles ... -
Stirling.
Désolé, ce que je connais sous le nom de "formule de Stirling", c'est depuis toujours : $\displaystyle n!\sim (\frac{n}{e})^{n}\sqrt{2\pi n}$ quand $n\rightarrow +\infty$, très belle formule faisant intervenir les deux nombres-vedettes de l'Analyse $e$ et $\pi$, comparable en ceci à : $\displaystyle e^{i\pi }=-1$.
Ou bien les formules donnant des développements limités qui précisent cette équivalence, comme :
$ \displaystyle n!=(\frac{n}{e})^{n}\sqrt{2\pi n}(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^{2}}+o(\frac{1}{n^{2}}))$.
Ces formules découlent du développement limité de $ \displaystyle \ln n!=\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}\ln k$. On trouve l'expression de ce développement à tout ordre avec la formule sommatoire d'Euler-MacLaurin, au moyen des nombres de Bernoulli. Ces formules sont locales, et les démonstrations que j'en connais le sont aussi, elles ne découlent pas d'un processus global, et c'est pourquoi je ne voyais pas comment en tirer un résultat global.
Par parenthèse cela n'a rien à voir avec une " formule de Stirling" qui serait ad usum CPGE : de nombreux ouvrages et articles donnent bien pour "formule de Stirling" ce que j'ai dit.
Pour le global, en cherchant çà et là, j'ai trouvé : $\displaystyle e^{\frac{1}{12n+1}}(\frac{n}{e})^{n}\sqrt{2\pi n}<n!<e^{\frac{1}{12n}}(\frac{n}{e})^{n}\sqrt{2\pi n}$
dans : Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Wiley, 1957, p. 52, ou bien :
Robbins, H., A Remark on Stirling's Formula, Amer. Math. Monthly 62, 26-29, 1955, disponible ici :
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~marin/une_autre_crypto/articles_et_extraits_livres/Robbin_H.-A_remark_on_Stirling\'s_Formula.pdf
Formule globale cette fois, qui peut sans doute résoudre notre problème : un marteau-pilon peut sans doute écraser une mouche...
Bonne journée,
F. Ch. -
Wallis
Je précise ce que j'ai voulu dire avec la formule de Wallis.
La formule de Wallis classique est elle aussi locale, puisqu'elle s'exprime comme une limite. Mais pour l'obtenir, on fait des encadrements, qui eux sont globaux.
Soit $w_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(\cos \theta )^{n}d\theta $ et soit $p_{n}=\frac{1\cdot 3\cdot ...\cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot ...\cdot (2n)}=\frac{1}{4^{n}}(_{~n}^{2n})$.
Classiquement on trouve : $w_{2n}=p_{n}\frac{\pi }{2}$, et $w_{2n+1}=\frac{1}{(2n+1)p_{n}}$, et $w_{2n-1}=\frac{1}{2np_{n}}$.
La suite $w_n$ étant évidemment décroissante, on en déduit :
$\frac{1}{(2n+1)p_{n}}<p_{n}\frac{\pi }{2}<\frac{1}{2np_{n}}$.
L'inégalité demandée en résulte. On peut aussi en tirer une majoration de $(_{~n}^{2n})$.
Bonne journée.
F. Ch. -
Pour Chaurien.
Ta version de Stirling se démontre élémentairement (L1)
1/ Etudier les variations de la fonction $f(x) = \left( x+\frac12\right)
\ln\left(1+\frac1x\right)$ pour $x>0$.
2/ Etudier la fonction d\'efinie par $g(x) = \left( x+\frac12\right)
.\ln\left(1+\frac1x\right) - \frac{1}{12x(x+1)}$ pour $x\geq 1$.
3/ Démontrer que les deux suites $u_{n}=\dfrac{n^{n+1/2}}{e^nn!}$ et
$v_{n}= u_{n}.\exp\left( \frac{1}{12n} \right)$ sont adjacentes.
4/ Calculer la limite commune à l'aide des intégrales de Wallis.
C'était faisable en terminale jusqu'à la disparition prématurée de l'intégration par parties et de la formule du binôme.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
@ezmaths et les autres : il y a effectivement une coquille dans mon encadrement : il faut lire $12$ au lieu de $2$. Merci à ezmaths pour sa vigilance ! Je corrige à la suite de cette intervention.
Pour une référence, voir :
P. R. Beesack, Improvements of Stirling formula by elementary methods, Pub. Fac. Électronique Univ. Belgrade, Série Mathématiques et Physique, 274-301 (1969), 17-21.
À noter que certains professeurs font utiliser à leurs élèves l'encadrement simplifié suivant, et c'est plutôt une bonne idée :
$$\left( \frac{n}{e} \right)^n \sqrt{2 \pi n} \leqslant n! \leqslant 2 \left( \frac{n}{e} \right)^n \sqrt{2 \pi n}.$$ -
Tu oublies la disparition des capacités de calcul des élèves, quelles qu'elles soient, ainsi que leur quasi absence de prise d'initiative !ev a écrit:C'était faisable en terminale jusqu'à la disparition prématurée de l'intégration par parties et de la formule du binôme.
Ici, beaucoup d'élèves de Terminale S seront rebutés par le simple calcul des dérivées des fonctions $f$ et $g$, peu d'entre eux arriveront à une forme qui soit juste, et aucun ne pensera à étudier la dérivée seconde et les limites de la dérivée pour obtenir le signe voulu si on ne le leur demande pas.
La plupart calculeront une dérivée, plus ou moins fausse, plus ou moins à l'aide de la calculette, et quasiment tous abandonneront en voyant qu'il y a encore un logarithme...
Désormais, je ne crois pas que l'on puisse faire entrer cet exercice dans les "standards" de l'épreuve du bac. Il faudrait bien trop de questions intermédiaires et donc de points à distribuer pour y arriver. -
@ bisam.
Je ne me berce pas d'illusions. Je sais distinguer "faisable" de "à faire". Je n'ai jamais donné cet exemple à des terminales avec ou sans question intermédiaire.
Avoir la volonté de trouver $g''(x) = -\dfrac{1}{6x^3(x+1)^3}$ sans gadin intermédiaire n'a jamais été un attendu du programme de TS, ni de TC. Faut pas pousser Hilbert dans les orties.
La profonde pensée derrière la phrase que tu cites rappelle simplement l'étendue des pans de connaissances qui se sont retrouvés inaccessibles aux TS par ces deux petits coups de crayon scélérats. Il me semble comprendre que c'était l'effet recherché.
Maintenant, la disparition de la formule de Stirling de l'horizon terminal en France ne changera pas la face du monde.
Bon dimanche,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Bonjour,
Je ne résiste pas à l'envie de vous redonner (j'ai déjà dû le mettre ici) le sujet de DM facultatif que j'ai donné il y a quelques années aux élèves de TS qui voulaient aller en CPGE (il doit y avoir une petite dizaine d'années).
Cordialement,
Rescassol -
Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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Il serait intéressant d'exhiber une preuve combinatoire de ce fait. Trouver un ensemble $E_n$ dont le cardinal serait $n\left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)^{2}$ et un autre ensemble $F_n$ dont le cardinal serait $4^{2n-1}$ tels que $F_n\subseteq E_n$. Pour l'instant je n'ai pas trouvé et n'ai pas trop cherché
-
@ noix de totos
En effet, Jean Dieudonné a écrit dans une préface :
« Le Calcul infinitésimal, tel qu'il se présente dans ce livre, est l'apprentissage des inégalités bien plus que des égalités, et on pourrait le résumer en trois mots :
MAJORER, MINORER, APPROCHER. »
"Ce livre", c'est : Calcul infinitésimal, Hermann, 1968. Si le Calcul infinitésimal porte ce nom, c'est que son objet spécifique est tout ce qui est : limites, équivalents, dominations, dérivées, intégrales, et toute cette sorte de choses, recouvertes dans la phrase précédente par le mot "approcher".
Il est bien vrai qu'on peut préconiser de mémoriser certaines inégalités, mais je verrais plutôt des inégalités de convexité, notamment celles qui sont liées aux moyennes. L'inégalité $\ln x \leqslant \frac{a}{e} x^{1/a}$, trop particulière, ne me semble pas à mémoriser en tant que telle, elle se ramène à : $\ln x \leqslant \frac{1}{e} x$ qu'on retrouve facilement comme inégalité de convexité.
Il y a aussi par exemple : $\sin x\geq \frac{2}{\pi }x$ pour $x\in [0,\frac{\pi }{2}]$, qui est utile notamment dans certains calculs de résidus, encore une inégalité de convexité. Mais on ne va pas collectionner les mini-exemples de la sorte, mieux vaut mémoriser les propriétés liées à la convexité des fonctions . Malheureusement les fonctions convexes ne sont au programme que dans la filière MP (et ECS !), et sans développement suffisant.
Et lorsque les "grands O" sont propices à des "manipulations hasardeuses", pourquoi ne pas leur préférer les "petits o" ? Par exemple dans un autre fil on cherchait un équivalent de $\frac{1}{\ln n}-\frac{1}{\ln (n+a)}$ quand $n\rightarrow \infty$, $a>0$, et l'on a vu que l'usage du "grand O" demandait une certaine maestria dans des finesses stratégiques, alors que le développement limité classique en "petit o" se faisait automatiquement.
Bonne soirée.
F. Ch. -
@Chaurien : ce que tu appelles "inégalité trop particulière" est valable pour tout $a > 0$, pas uniquement $a=1$, si, toutefois, j'ai bien compris ton message ci-dessus. Par exemple, $\log x \leqslant 8 e^{-1} x^{1/8}$ et plus généralement (et c'est ce que je pointais du doigt dans mon précédent message) : pour tout $\varepsilon > 0$
$$\log x \leqslant (e \varepsilon)^{-1} x^\varepsilon.$$
Et je trouve que c'est assez facile à s'en souvenir. Il faut dire que je m'en sers assez souvent.
Cette inégalité, ainsi que son pendant pour l'exponentielle, a quand même été l'objet de grandes discussions entre G. N. Watson et E. H. Neville, au milieu des années 30, alors qu'ils travaillaient sur la théorie de la fonction Gamma.
D'une façon plus générale, je trouve qu'en France nous n'avons pas toujours cette culture de l'inégalité explicite, hormis effectivement les inégalités de convexité. Il y a pourtant en ce domaine une recherche active. -
Il me semble que ce que voulait dire Chaurien, c'est que l'inégalité générale (pour $ a > 0 $) se déduit de l'inégalité avec $a = 1$ appliquée à $ x^{1/a}$ et que l'inégalité avec $a = 1$ s'obtient par convexité et que dans le cadre de la CPGE, c'est plus ce genre de techniques générales, de "fondements" de l'analyse qu'il faut cultiver (et accessoirement, que c'est peut-être déjà du boulot...) plutôt qu'une compréhension en profondeur de l'expressivité d'une inégalité effective et optimisée, et notamment certaines inégalités particulières (comme l'inégalité Stirling effective susmentionnée), problématique évidemment fondamentale en mathématiques aujourd'hui, mais je peux me tromper et je laisse la parole à Chaurien (et puis j'ai le sentiment, en écrivant cette réponse, que ça ne recoupe pas complètement ce que je voulais dire mais j'espère que ça sera bien compris...)
C'est peut-être une des distinctions entre le travail du mathématicien et celui de l'étudiant?
En ce qui concerne l'importance des maths effectives de manière générale, je pense qu'il suffit de s'intéresser quelque peu à certains domaines pour s'en apercevoir. Je ne parlerais que théorie analytique des nombres, car ceci permettra à noix de totos de me corriger tout de suite :-D mais j'ai cru comprendre que certains problèmes ouverts majeurs dans ce domaine reposent sur ça (il y a une page wiki sur le sujet https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_results_in_number_theory ), ce qui a encore accru la sensibilité de plusieurs mathématiciens à l'égard de ces questions. En particulier, dans plusieurs cadres (fonction zêta, mais aussi théorie diophantienne), une connaissance explicite (avec toutes les constantes, tous les domaines de validité etc.) permet, à l'aide de l'ordinateur, de déduire pas mal de trucs, de ce que j'ai pu en lire, mais je n'ai aucune connaissance précise, donc je laisse la parole à noix de totos.
En ce qui concerne la différence de culture, est-ce que c'était une comparaison France vs R-U ? Parce qu'aux États-Unis, d'après une note de Zeilberger, Jon Hanke(!) n'a pas eu de poste académique:
http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion134.html -
@Algebraic : je n'avais pas saisi la remarque de Chaurien sous cet angle, mais je ne suis que partiellement d'accord avec la phrase c'est plus ce genre de techniques générales, de "fondements" de l'analyse qu'il faut cultiver.
Quant à l'établissement de résultats explicites en théorie analytique des nombres (puisque tu cites ce domaine), il est effectivement en plein essor. Un excellent survol sur ce sujet réside dans la page suivante : http://iml.univ-mrs.fr/~ramare/TME-EMT/accueil.html -
Bonjour. L'âge et la canicule diminuent ma réactivité.
Avant de répondre sur la question des inégalités, assurément très intéressante, je voudrais continuer quelque peu sur Stirling. Moi aussi, comme ev, j'ai posé en problème/exercice la formule de Stirling plusieurs fois au cours de ma carrière, dans diverses classes de CPGE (commerciales, techniques, scientifiques, agro), avec des présentations différentes pour s'accorder avec le programme de ces classes. Il me semble même que c'est tombé au bac C dans les années1970-80, lorsqu'il y avait un programme de Première C - Terminale C qui se tenait. Et il me semble qu'on en a déjà parlé sur ce forum, mais je n'ai plus les références.
J'ai fait un article sur cette formule dans "Le Petit Archimède" Spécial $\pi$" en 1980, et j'en ai parlé dans un article du Tangente Hors-Série n° 5, "Terre & Espace", 1998, consacré à la formule sommatoire d'Euler-MacLaurin.
Dans tout cela, j'ai toujours considéré la formule de Stirling comme une formule asymptotique, qu'il s'agisse de l'équivalent ou du développement limité qui le précise. D'où ma remarque 4 dans mon message d'il y a deux jours. Je fais (malicieusement) observer que l'article de Beesack cité par Noix de totos commence par donner cette définition de la formule de Stirling : $\displaystyle \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}(n/e)^{n}}=1$
https://www.jstor.org/stable/43667393?seq=1#page_scan_tab_contents
L'objet de cet article ce sont des améliorations (improvements) de cette formule, et c'est effectivement très intéressant. Si quelqu'un pouvait nous avoir le texte intégral de cet article, ce serait sympa.
Au fond nous sommes d'accord. C'est juste une question d'appellation, de terminologie.
On en revient aux inégalités. Ce sera le prochain message, les Dieux voulant.
Bonne journée, avec température plus humaine.
F. Ch.
[small]Pourquoi comme ça et pas comme ça
Un troupeau de bonapartes passe dans le désert
L'empereur s'appelle Dromadaire
Il a un cheval caisse et des tiroirs de course[/small] -
Le débat n'est pas inintéressant, mais risque in fine de tourner en rond.
Et puisqu'il y a eu un fil nommé "États d'âme" par Jean-Louis, je souhaiterais ajouter qu'il n'était pas dans mes intentions d'imposer un point de vue quelconque à quiconque là-dessus, simplement exprimer mon opinion.
Quant à l'article de Beesack, le voici : -
Breyer a écrit:Il serait intéressant d'exhiber une preuve combinatoire de ce fait. Trouver un ensemble $E_n$ dont le cardinal serait $n\left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)^{2}$ et un autre ensemble $F_n$ dont le cardinal
serait $4^{2n-1}$ tels que $F_n\subseteq E_n$.
Ce serait très joli ;-) -
Je reviens avec retard à cette discussion pour quelques mots sur les inégalités, sans état d'âme.
Ce que j'ai voulu dire c'est qu'une inégalité telle que : $\ln x \leqslant \frac{a}{e} x^{1/a}$ pour $a>0$ ne me semble pas d'un tel intérêt général qu'on puisse en demander la mémorisation à des étudiants.
Si j'ai bien compris noix de totos est chercheur en Théorie des Nombres, et il utilise fréquemment cette inégalité, alors elle est intéressante pour lui, bon, mais pour ceux qui font des math en généralistes, on ne voit pas ce qui la distingue de centaines d'autres. J'ai dit qu'elle se ramène à $\ln x \leqslant \frac{1}{e} x$ et cette dernière me semble plus intéressante car elle se retrouve immédiatement par le fait que le graphe de la fonction concave $x\mapsto \ln x$ est situé au-dessous de sa tangente au point $(e,1)$, laquelle tangente passe par l'origine (faire le dessin). La concavité stricte de cette fonction donne dans la foulée la condition de l'égalité : $x=e$. Et en faisant $x:=x^{1/a}$ dans cette inégalité on trouve celle de noix de totos.
Autrefois on étudiait dans le Secondaire les identités remarquables, et on les faisait mémoriser par les élèves, et c'était très bien ainsi. Je ne sais ce qu'il en est aujourd'hui. Mais rien de tel pour les inégalités remarquables : il n'y en a guère de trace dans nos programmes d'enseignement (*) et c'est regrettable. Je ne puis citer un seul livre de mathématiques en français qui traite spécifiquement d'inégalités, alors que les titres en anglais sont nombreux, depuis le Grand Classique de Hardy, Littlewood, Pólya, 1934. Parmi eux, nombre d'ouvrages d'auteurs est-européens ou russes. Heureusement, l'intérêt pour ce sujet s'est développé en France à l'occasion de la préparation aux compétitions mathématiques, et s'il n'y a pas de livre il y a au moins un texte de Pierre Bornsztein du plus haut intérêt :
http://www.normalesup.org/~kortchem/olympiades/Cours/Inegalites/inegalites.pdf
Bonne journée et bon courage pour la reprise du travail pour mes collègues professeurs,
F. Ch.
(*) Je suis très intéressé par la réflexion sur les programmes d'enseignement. Je connais à peu près les programmes des classes préparatoires, car j'y interviens encore, et ces programmes sont faciles à trouver sur Internet. Mais j'ignore ces programmes pour l'Université, et j'aimerais que l'on m'en communique aux fins d'information. Merci. -
Chaurien a écrit:Si j'ai bien compris noix de totos est chercheur en Théorie des Nombres, et il utilise fréquemment cette inégalité, alors elle est intéressante pour lui.
C'est exact, même si l'inégalité présentée ici n'a pas un intérêt majeur. Elle m'a récemment permis toutefois, et ce indirectement, d'obtenir des inégalités explicites relatives à la fonction de Möbius.
En fait, cette discussion a dévié sur le fait de savoir si oui ou non il fallait enseigner ce type d'inégalité. Mais mon message de départ était plutôt destiné à signaler (et pas plus) que, derrière des dominations $O$, négligeabilité $o$, ou équivalents $\sim$, on disposait presque toujours d'inégalités explicites, qui permettent de vérifier concrètement les résultats.
Peut-être que mon exemple sur l'inégalité du $\log$, trop simple, aurait pu (dû ?) être changé par un autre. Mais bon, l'expérience montre qu'ici il n'est pas toujours facile de taper juste. -
>
> 4/ Calculer la limite commune à l'aide des
> intégrale Wallis
> e.v.
Bonjour EV
Peux-tu préciser ? Comment utiliser Wallis pour la limite commune
Merci -
Je détaille~:
1) Etudier les variations de la fonction $f(x) = \left( x+\frac12\right)\ln\left(1+\frac1x\right)$ pour $x>0$.
2) Etudier la fonction d\'efinie par $g(x) = \left( x+\frac12\right).\ln\left(1+\frac1x\right) - \frac{1}{12x(x+1)}$ pour $x\geq 1$.
3) Démontrer que les deux suites $u_{n}=\dfrac{n^{n+1/2}}{e^nn!}$ et $v_{n}= u_{n}.\exp\left( \frac{1}{12n} \right)$ sont adjacentes. On appelle $\ell$ la limite commune.
4) On pose $w_{n}= \displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^{n}x \,\textrm dx$.
Démontrer que la suite $(w_{n})_{n\in {\mathbb N}}$ est décroissante.
Trouver une relation entre $w_{n}$ et $w_{n+2}$. Calculer $w_{n}$.
Démontrer que $\forall n\in {\Bbb N}, \dfrac{(2.4. \ldots . 2n)^2}{(3.5.\ldots . (2n-1))^2(2n+1)}\leq \dfrac\pi2 \leq \dfrac{(2.4. \ldots .(2n-2))^22n}{(3.5. \ldots . (2n-1))^2}$
En déduire l'existence de $L = \displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{2^{4n}(n!)^4}{n\left[ (2n)!\right]^2 }$, et calculer $L$.
5) Calculer $\ell$.
6) En déduire un encadrement de $n!$ pour $n\geq 1$.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Pour Stirling, il y a une présentation intéressante du travail à faire dans la bible des probabilités: Feller an introduction to probability theory qui est vraiment conseillé aux profs en prépa commerciales (ecs + ece ...)A demon wind propelled me east of the sun
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