Somme d'une série divergente
dans Arithmétique
Bonjour,
je bouquine pour le plaisir des documents sur les séries divergentes. Je ne connais pas grand chose sur le sujet et il m'est venu une question sans doute farfelue sur un cas particulier.
En se plaçant dans le domaine des séries formelles, on peut écrire $\sum_{n=0}^{+\infty}X^n = (1-X)^{-1}$ sans se soucier de rien. Maintenant, si nous voyons cette série comme une série entière, la question de la convergence remonte à la surface. Si j'ai bien compris, à partir du moment où la série converge l'égalité tient.
Ainsi, la formule est valide dans $\mathbb{R}$ en remplaçant $X$ par $x\in]-1,1[$ et dans $\mathbb{Q}_p$ en remplaçant $X$ par $p$ un nombre premier.
Existe-t-il d'autres corps dans lesquels cette formule est valide pour d'autres valeurs de l'indéterminée ?
D'autre part, existe-t-il des sommations ou des méthodes par prolongement analytique qui permettent de retrouver ces résultats dans $\mathbb{R}$ ?
Je vous remercie d'avance pour vos précieuses lumières.
Cordialement,
Mister Da
je bouquine pour le plaisir des documents sur les séries divergentes. Je ne connais pas grand chose sur le sujet et il m'est venu une question sans doute farfelue sur un cas particulier.
En se plaçant dans le domaine des séries formelles, on peut écrire $\sum_{n=0}^{+\infty}X^n = (1-X)^{-1}$ sans se soucier de rien. Maintenant, si nous voyons cette série comme une série entière, la question de la convergence remonte à la surface. Si j'ai bien compris, à partir du moment où la série converge l'égalité tient.
Ainsi, la formule est valide dans $\mathbb{R}$ en remplaçant $X$ par $x\in]-1,1[$ et dans $\mathbb{Q}_p$ en remplaçant $X$ par $p$ un nombre premier.
Existe-t-il d'autres corps dans lesquels cette formule est valide pour d'autres valeurs de l'indéterminée ?
D'autre part, existe-t-il des sommations ou des méthodes par prolongement analytique qui permettent de retrouver ces résultats dans $\mathbb{R}$ ?
Je vous remercie d'avance pour vos précieuses lumières.
Cordialement,
Mister Da
Réponses
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Il y a moyen, dans $\mathbb{R}$ d'obtenir un prolongement de $\Sigma$ (application qui à une suite à série convergente associe la somme de sa série) à des sous-espaces de $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ qui contiennent notamment les suites $(x^n)$ pour $x \neq 1$, et qui redonnent bien cette formule. Seulement, il s'agit de prolongement algébrique et pas analytique, donc je ne sais pas si ça répond vraiment (mais je pense)
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Je pense que cette égalité a un sens dans l'algèbre des matrices carrées $n\times n$.
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@Fin de partie Il parait que ça s'appelle la série de Neumann. Dans n'importe quelle algèbre de Banach unitaire $A$ [small](une algèbre sur un espace vectoriel normé où $\|x^n\| \le \|x\|^n$ et avec un élément neutre $1$ équivalent de la matrice identité)[/small]
On a que la suite $y_N = \sum_{n=0}^N x^n$ est de Cauchy dans $A$ dès que $\|x\| < 1$, on peut donc donner un sens à sa limite,
et $(1-x)(\sum_{n=0}^\infty x^n) = \lim_{N \to \infty} (1-x)(\sum_{n=0}^N x^n) = 1$ -
Bonjour,
merci beaucoup pour vos réponses et mille excuses car je n'ai pas été assez précis. Secrètement, je pensais qu'à des nombres réels. J'essaye de reformuler (en espérant que ma question ait un sens).- En remplaçant $X$ par $x\in]-1,1[$, la formule est valide dans le complété de $\mathbb{Q}$ muni de la valeur absolue (bref, dans $\mathbb{R}$), ce qui est le résultat classique.
- En remplaçant $X$ par $p$ un nombre premier, la formule est valide dans le complété de $\mathbb{Q}$ muni de la valeur absolue $p$-adique (bref, dans $\mathbb{Q}_p$), ce qui est un résultat choquant quand il est mal présenté pour épater la galerie (du genre, la somme des puissances de $2$ vaut $-1$ sans rien préciser).
Du coup, très naïvement, je me demandais s'il était (toujours) possible de compléter $\mathbb{Q}$ muni d'une norme qui va bien pour que cette formule soit valide quand on remplace $X$ par un nombre arbitraire mais différent de l'unité, mettons $\sqrt{2}$ ou $21/4$ par exemple.
@Maxtimax, je pense que ça répond mais je n'ai pas trop compris ce que tu appelles un prolongement algébrique. S'agit-il de trouver une sommation plus forte ?
@Siméon, Fin de partie, reuns, en fait, je cherchais juste des résultats choquants pour épater la galerie. Les complexes de module inférieur à 1 ou les matrices de norme induite inférieure à 1 ou encore les opérateurs de norme d'opérateur inférieure à 1 ressemblent trop au résultat classique. Actuellement, on peut épater la galerie en donnant un sens à cette somme avec n'importe quel nombre premier. Est-il possible de le faire pour d'autres valeurs.
Encore merci pour vos messages.
Cordialement,
Mister Da - En remplaçant $X$ par $x\in]-1,1[$, la formule est valide dans le complété de $\mathbb{Q}$ muni de la valeur absolue (bref, dans $\mathbb{R}$), ce qui est le résultat classique.
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Mister Da : si tu vois l'application $\Sigma$ que j'ai décrite plus haut comme une forme linéaire sur un sev de $\R^\N$, tu peux la prolonger sur un autre sev, olus grand, de manière à conserver son "caractère sommatoire". En l'occurrence, si on impose par exemple que la forme linéaire prolongée vérifie que rajouter un 0 devant ne change rien, alors on obtient quelque chose de sympathique, en particulier on peut prolonger $\Sigma$ de manière à obtenir une valeur pour les $(x^n), x\neq 1$, qui se trouve être $(1-x)^{-1}$. Ainsi ça te "donne le droit" d'écrire $\Sigma 2^n = -1$ par exemple (si tu veux épater la galerie)
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Si c'est seulement pour épater la galerie, tu peux considérer l'identité
$$\sum_{n=1}^\infty \left(e^{\partial}\right)^n\partial = \frac{\partial e^\partial}{e^\partial-1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{B_k}{k!}\partial^k$$
qui contient formellement la formule d'Euler-Maclaurin. -
Bonjour,
@Maxtimax : tout à fait ! Merci beaucoup. Je ne sais pas pourquoi, je m'étais mis dans le crane qu'on ne pouvait pas trouver une méthode sommatoire linéaire, régulière et stable. Le pire, c'est que c'est écrit noir sur blanc ici précisément sur le même exemple et que j'ai lu cette page hier. C'est ton message qui m'a donné le déclic.
@Siméon : j'ai de loin pas le niveau pour apprécier toute la saveur de ta formule du coup je suis plus impressionné (voire terrorisé) qu'épaté :-D (quand je parle d'épater la galerie c'est avec moi dans le rôle de la galerie).
En tout cas merci beaucoup à tous d'avoir pris le temps de répondre sérieusement à cette question fantaisiste, c'est très sympa !
Cordialement,
Mister Da
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