Montrer que racine de 2 n'est pas 1,414213562
dans Arithmétique
Bonjour,
Comment montreriez-vous que le carré de 1,414213562 se termine par un 4 ?
Merci.
Comment montreriez-vous que le carré de 1,414213562 se termine par un 4 ?
Merci.
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Réponses
Ben, vu que le nombre se termine par $2$, c'est normal que son carré se termine par $4$.
Le fait que ce soit une approximation de $\sqrt{2}$ n'a rien à voir.
Cordialement,
Rescassol
On dispose de l'algorithme de multiplication posée (pour les nombres décimaux).
Mais la question est-elle de démontrer que cet algorithme fonctionne ?
À quel niveau ?
A la suite de Rescassol, que je salue au passage, peut-être écrire que
\[
1,414213562=1+\frac{4}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{4}{10^3}+\frac{2}{10^4}+\frac{1}{10^5}+\frac{3}{10^6}+\frac{5}{10^7}+\frac{6}{10^8}+\frac{2}{10^9}
\]
et utiliser ceci pour déterminer le coefficient de $1/10^{18}$ dans le développement
\[
\left(1+\frac{4}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{4}{10^3}+\frac{2}{10^4}+\frac{1}{10^5}+\frac{3}{10^6}+\frac{5}{10^7}+\frac{6}{10^8}+\frac{2}{10^9}\right)^2=\cdots
\]
Cordialement,
Thierry
Ou aussi : Soit $n\in\N$, le plus petit possible, tel que $10^nx=y\in\N$.
En écrivant $y=10p+q$ ($q$ est alors le dernier chiffre décimal qui t'intéresse) on aura $y^2=100p^2+20pq+q^2$ et avec $q^2=10u+v,\;0\leqslant v<10$ tu as le résultat.
Ce n'est pas toujours vrai c'est à dire que parfois c'est absurde.
$4^2=16$, $16$ est un nombre de deux chiffres, je ne vois pas comment cela pourrait être le dernier chiffre d'un nombre. :-D
Si j'ai bien compris :
Pour $n$ entier naturel, $n$ peut se mettre sous la forme $$n=A\times 10+u$$ où $u$ est le chiffre des unités de $n$. Alors $n^2=A^2\times 100+2Au\times 10+ u^2$. Comme le chiffre des unités de $A^2\times 100+2Au\times 10$ est 0 alors le chiffre des unités de $n^2$ est le chiffre des unités de $u^2$.
Maintenant si on prend un décimal $d$, alors il existe des entiers naturels $n$ et $p$ tels que $d=n\times 10^{-p}$.
Si $d$ est un décimal non entier, alors son dernier chiffre est différent de 0. Notons ce dernier chiffre $a_p$. On a $$d=B\times 10^{-p+1}+a_p\times 10^{-p}$$ avec B entier naturel. Alors $d^2=B^2\times 10^{-2p+2}+2Ba_p\times 10^{-2p+1}+ a_p^210^{-2p}$.
Le dernier chiffre de $d^2$ est le dernier chiffre de $a_p^2$.
.... est le dernier chiffre de m^2.
[mode vieux con on]
Avant la généralisation des calculettes, ce genre de question était une évidence (on multipliait à la main) pour les lycéens.
[mode vieux con off]
Cordialement.
C'est aussi une manière de démontrer que le résultat affiché par une calculatrice (un nombre décimal) n'est parfois pas la valeur exacte (je pense notamment au fameux 6,666666666667).
Il s'agit bien de démonstration.
Et on peut même aller taper dans le primaire !
Pour voir le fonctionnement, on va oublier les chiffres intermédiaires et multiplier 1,2*1,2 [A quoi ça sert que le bouton "code" se décarcasse ! AD]
Comme tu l'as écrit toi-même, tous les calculs autres que le 2*2 final portent sur une puissance de 10 supérieure à celle du dernier chiffre 4 venant du 2*2
Merci Félix. Effectivement la multiplication posée est une autre preuve et qui a le mérite de pouvoir être exposée dans des petits niveaux.
de montrer aussi très facilement que $\dfrac{1}{6}\neq 1,1666666667$.
D'une part $6\times\dfrac{1}{6}=1$ a pour dernier chiffre 1.
D'autre part $6\times 1,1666666667$ a pour dernier chiffre le dernier chiffre de
$6\times 7$ soit 2.
Donc $\dfrac{1}{6}\neq 1,1666666667$.
2°) Pour tout $y\in \N$ si $10$ ne divise pas $y$, il ne divise pas non plus $y^2$
3°) Soient $(p,p',q,q',r,r')\in \Z^6$, tels que $p$ et $p'$ ne sont pas des multiples de $10$. Si $10^r(10q+p)=10^{r'}(10q'+p')$ alors $r=r'$ et $p-p'$ est un multiple de $10$.
En effet supposons par l'absurde, que sans perte de généralité, $r'<r$. Alors $10^{r-r'}(10q+p)=10q'+p'$ ce qui montre que $10^{r-r'}$ est un entier divisant $10q'+p'$ qui n'est pas multiple de $10$ et donc $r-r'=0$ (absurde).
On a alors $r=r'$ puis après simplification par $10^r$: $10q+p=10q'+p'$ et donc $p-p'=10(q'-q)$.
4°) Soit $D$ l'anneau des décimaux (le plus petit sous-anneau de $\mathbb Q$contenant $\Z$ et $\frac{1}{10}$). Soit $x\in D$ strictement positif. Il existe $u \in \{1,...,9\},n \in \N$, $v\in \N$ et $w\in \Z$ tels que $x=10^w(10v+u)$, et un tel $u$ est d'après 3°, unique (la différence de deux entiers entre $1$ et $9$ n'est un multiple de $10$ que s'ils sont égaux). $u$ est alors appelé le "premier chiffre à droite non nul de $x$".
5°) Si $x \in D$ et si $(d,e,f)\in \N \times \Z^2$ sont tels que $10$ ne divise pas $d$ et $x=10^f(10e+d)$ alors $d$ et $x$ ont le même premier chiffre à droite non nul.
Ecrivons $x=10^w(10v+u)$ avec $u \in \{1,...,9\},n \in \N$, $v\in \N$ et $w\in \Z$, comme au 4°. D'après 3°, $d-u$ est un multiple de $10$. On a donc $10m+u=d$ pour un certain $m\in \Z$. En fait, $m\geq 0$,
sinon on aurait $10n<-u$ et donc $d<0$ (on a supposé le contraire).
Le titre du présent fil est conséquence des pénibles trivialités 1° à 5° ci-dessus.
2 . 10 18 = 1414213562 2
et 0 = 2 2 = 4 modulo 10 ?
Quelque chose doit m'échapper.
q | p k ,
et en appliquant k fois le lemme de Gauss, q | 1 et q = 1.
Bien sûr, des goûts et des couleurs :-)
On ne peut pas se contenter de dire "on prend les premiers chiffres à droite et on les multiplie", pour des nombres décimaux à virgule.
On peut justement si le produit des deux "derniers" ne donnent pas 0 modulo 10.
On peut même compter les chiffres, qu'ils soient nuls ou pas qui se placent derrière la virgule à partir de ceux des deux nombres à multiplier.
On peut même donner un sens à ce dénombrement en passant aux entiers (numérateurs des fractions décimales de chacun d'eux).
Plus simplement, Ici, on a un carré et on peut connaître le dernier chiffre non nul placé derrière la virgule.
Je parle de l'algorithme enseigné en primaire que j'admets.
Pas du tout. Le fait que l'algorithme appris par coeur en CM1 marche est admis et non pas prouvé aux petits. De plus son fonctionnement est trop "caverne d'alibaba" pour donner lieu à une preuve vraiment convaincante aux enfants de cet âge.
Par contre, le fait qu'aucun nombre décimal ne peut donner 2 quand on le met au carré résulte du fait qu'aucun nombre entier n'a un carré égal à 2 fois $10^n$ (en langage enfant: 2000000000....0000)
Pour prouver ce dernier point au CM1 (ça me parait franchement aventureux, mais bon), on génère un "etc, etc" à partir de la remarque que si $(10a+b)^2 = 2.10^{n+2}$ alors $(10a)^2 = 2.10^{n+2}$ et donc $a^2 = 2.10^n$, puisque si $10$ divise $b^2$ avec $b\in \{0;1;2;..;9\}$ alors $b=0$.
@cc
Je sais que tu ne me répondais pas, mais j'anticipe ;-)
Edit : quand même @cc, les petits comprennent quand il y a peu de chiffres qu'il s'agit de la distributivité, non formalisée mais utilisée pour le calcul mental, par exemple. Non ?
Si on effectue la multiplication à la main, on doit écrire tous les chiffres obtenus, y compris les zéros, même à la fin.
Sinon le résultat sera faux.
En effet en commençant par la droite, çàd les derniers chiffres, au moment de passer à la multiplication suivante, c-à-d par le chiffre précédent, on doit décaler le nombre d'un cran vers la gauche, par rapport au nombre précédent (et d'un ou plusieurs crans supplémentaires s'il y a un ou plusieurs zéros au milieu des chiffres).
Exemple sur 102*105 : Si on n'écrit que les chiffres significatifs et que l'on ignore les 0 placés à la fin, on obtient le résultat faux suivant : Merci Alain (AD) pour ton conseil d'utiliser le bouton "code"
[ajout : et pour avoir corrigé ma bêtise d'avoir incorporé dans le code la phrase entre les deux opérations. T'es un véritable ange gardien !]
Ceci ne devrait-il pas se trouver dans une autre discussion, un "défi" pour trouver la racine carrée de 32, 604 1 ?
C'est une façon, officiellement enseignée autrefois (je l'ai également apprise, mais rapidement oubliée) de calculer les racines carrées. Elle permet donc également d'obtenir la racine carrée de 2, dont on parle dans ce fil, mais la question initiale de Bulledesavon ne concerne pas exactement ce point précis.
Amicalement
Tu as raison, c'est plutôt une tranche d'Histoire des mathématiques.
Je vais laisser les administrateurs décider.