Montrer que racine de 2 n'est pas 1,414213562

bulledesavon · November 2016

Bonjour,

Comment montreriez-vous que le carré de 1,414213562 se termine par un 4 ?

Merci.

Rescassol · November 2016

Bonjour,

Ben, vu que le nombre se termine par $2$, c'est normal que son carré se termine par $4$.
Le fait que ce soit une approximation de $\sqrt{2}$ n'a rien à voir.

Cordialement,

Rescassol

bulledesavon · November 2016

Oui mais comment on montre que si le dernier chiffre d'un nombre est m alors le dernier chiffre de son carré est m^2 ?

Dom · November 2016

Heu...
On dispose de l'algorithme de multiplication posée (pour les nombres décimaux).

Mais la question est-elle de démontrer que cet algorithme fonctionne ?
À quel niveau ?

Thierry Poma · November 2016

Bonjour,

A la suite de Rescassol, que je salue au passage, peut-être écrire que
\[
1,414213562=1+\frac{4}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{4}{10^3}+\frac{2}{10^4}+\frac{1}{10^5}+\frac{3}{10^6}+\frac{5}{10^7}+\frac{6}{10^8}+\frac{2}{10^9}
\]
et utiliser ceci pour déterminer le coefficient de $1/10^{18}$ dans le développement
\[
\left(1+\frac{4}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{4}{10^3}+\frac{2}{10^4}+\frac{1}{10^5}+\frac{3}{10^6}+\frac{5}{10^7}+\frac{6}{10^8}+\frac{2}{10^9}\right)^2=\cdots
\]

Cordialement,

Thierry

rakam · November 2016

Bonsoir !
Ou aussi : Soit $n\in\N$, le plus petit possible, tel que $10^nx=y\in\N$.
En écrivant $y=10p+q$ ($q$ est alors le dernier chiffre décimal qui t'intéresse) on aura $y^2=100p^2+20pq+q^2$ et avec $q^2=10u+v,\;0\leqslant v<10$ tu as le résultat.

Fin de partie · November 2016

Bulledesavon a écrit:

Oui mais comment on montre que si le dernier chiffre d'un nombre est m alors le dernier chiffre de son carré est m^2 ?

Ce n'est pas toujours vrai c'est à dire que parfois c'est absurde.

$4^2=16$, $16$ est un nombre de deux chiffres, je ne vois pas comment cela pourrait être le dernier chiffre d'un nombre. :-D

bulledesavon · November 2016

Bonsoir,

Si j'ai bien compris :

Pour $n$ entier naturel, $n$ peut se mettre sous la forme $$n=A\times 10+u$$ où $u$ est le chiffre des unités de $n$. Alors $n^2=A^2\times 100+2Au\times 10+ u^2$. Comme le chiffre des unités de $A^2\times 100+2Au\times 10$ est 0 alors le chiffre des unités de $n^2$ est le chiffre des unités de $u^2$.

Maintenant si on prend un décimal $d$, alors il existe des entiers naturels $n$ et $p$ tels que $d=n\times 10^{-p}$.
Si $d$ est un décimal non entier, alors son dernier chiffre est différent de 0. Notons ce dernier chiffre $a_p$. On a $$d=B\times 10^{-p+1}+a_p\times 10^{-p}$$ avec B entier naturel. Alors $d^2=B^2\times 10^{-2p+2}+2Ba_p\times 10^{-2p+1}+ a_p^210^{-2p}$.
Le dernier chiffre de $d^2$ est le dernier chiffre de $a_p^2$.

bulledesavon · November 2016

Pour fin de partie,

.... est le dernier chiffre de m^2.

gerard0 · November 2016

Bonsoir.

[mode vieux con on]
Avant la généralisation des calculettes, ce genre de question était une évidence (on multipliait à la main) pour les lycéens.
[mode vieux con off]

Cordialement.

Dom · November 2016

En tous les cas, c'est une façon de démontrer que les racines carrées de carrés non parfaits ne sont pas des nombres décimaux.
C'est aussi une manière de démontrer que le résultat affiché par une calculatrice (un nombre décimal) n'est parfois pas la valeur exacte (je pense notamment au fameux 6,666666666667).

Il s'agit bien de démonstration.
Et on peut même aller taper dans le primaire !

depasse · November 2016

Ce n'est qu'exceptionnellement que le carré de $1,414213562 $ se termine par $4$. Il vaut clairement mieux parier qu'il se termine par $0$!X:-(

Félix · November 2016

Bonjour,

Pour voir le fonctionnement, on va oublier les chiffres intermédiaires et multiplier 1,2*1,2

  1 2
  1 2
-------
  2 4    [edit : il a fallu mettre ce 0 car le forum ne prenait pas les espaces au début de la ligne]
1 2      [du coup j'en ajoute un ici, puisqu'on a multiplié 12 par 10]
-------
1 4 4

[A quoi ça sert que le bouton "code" se décarcasse ! AD]

Comme tu l'as écrit toi-même, tous les calculs autres que le 2*2 final portent sur une puissance de 10 supérieure à celle du dernier chiffre 4 venant du 2*2

bulledesavon · November 2016

Bonjour,
Merci Félix. Effectivement la multiplication posée est une autre preuve et qui a le mérite de pouvoir être exposée dans des petits niveaux.

bulledesavon · November 2016

L'algorithme de multiplication posée est effectivement polyvalent et permet

de montrer aussi très facilement que $\dfrac{1}{6}\neq 1,1666666667$.

D'une part $6\times\dfrac{1}{6}=1$ a pour dernier chiffre 1.

D'autre part $6\times 1,1666666667$ a pour dernier chiffre le dernier chiffre de

$6\times 7$ soit 2.

Donc $\dfrac{1}{6}\neq 1,1666666667$.

Cidrolin · November 2016

On sait qu'ils sont différents, l'un est plus petit que 1, l'autre non.

bulledesavon · November 2016

C'est une erreur d'etourderie... 1/6 différent de 0,1666666667.

Foys · December 2016

1°) Soient $a,b,c$ des entier relatifs. Alors $[10^c(a+10b)]^2=10^{2c}(a^2+20ab+100b^2)=10^{2c}[a^2+10(2ab+10b^2)]$.

2°) Pour tout $y\in \N$ si $10$ ne divise pas $y$, il ne divise pas non plus $y^2$

3°) Soient $(p,p',q,q',r,r')\in \Z^6$, tels que $p$ et $p'$ ne sont pas des multiples de $10$. Si $10^r(10q+p)=10^{r'}(10q'+p')$ alors $r=r'$ et $p-p'$ est un multiple de $10$.
En effet supposons par l'absurde, que sans perte de généralité, $r'<r$. Alors $10^{r-r'}(10q+p)=10q'+p'$ ce qui montre que $10^{r-r'}$ est un entier divisant $10q'+p'$ qui n'est pas multiple de $10$ et donc $r-r'=0$ (absurde).
On a alors $r=r'$ puis après simplification par $10^r$: $10q+p=10q'+p'$ et donc $p-p'=10(q'-q)$.

4°) Soit $D$ l'anneau des décimaux (le plus petit sous-anneau de $\mathbb Q$contenant $\Z$ et $\frac{1}{10}$). Soit $x\in D$ strictement positif. Il existe $u \in \{1,...,9\},n \in \N$, $v\in \N$ et $w\in \Z$ tels que $x=10^w(10v+u)$, et un tel $u$ est d'après 3°, unique (la différence de deux entiers entre $1$ et $9$ n'est un multiple de $10$ que s'ils sont égaux). $u$ est alors appelé le "premier chiffre à droite non nul de $x$".

5°) Si $x \in D$ et si $(d,e,f)\in \N \times \Z^2$ sont tels que $10$ ne divise pas $d$ et $x=10^f(10e+d)$ alors $d$ et $x$ ont le même premier chiffre à droite non nul.
Ecrivons $x=10^w(10v+u)$ avec $u \in \{1,...,9\},n \in \N$, $v\in \N$ et $w\in \Z$, comme au 4°. D'après 3°, $d-u$ est un multiple de $10$. On a donc $10m+u=d$ pour un certain $m\in \Z$. En fait, $m\geq 0$,
sinon on aurait $10n<-u$ et donc $d<0$ (on a supposé le contraire).

Le titre du présent fil est conséquence des pénibles trivialités 1° à 5° ci-dessus.

soland · December 2016

Un de mes vieux souvenirs a sa place ici pour répondre au post initial de ce fil. 57854

GG · December 2016

Ne peut-on pas simplement dire que si l'on avait 2 = 1,414213562², on aurait

2 . 10¹⁸ = 1414213562²

et 0 = 2² = 4 modulo 10 ?

Quelque chose doit m'échapper.

Dom · December 2016

Comme toi, @GG, mon message suffisait également. Et c'est du programme de l'école primaire.

GG · December 2016

@soland, ça me semble "plus propre" de dire que si (p/q)^k = n avec (p, q) =1, alors p^k = q^k . n,
q | p^k ,
et en appliquant k fois le lemme de Gauss, q | 1 et q = 1.

Bien sûr, des goûts et des couleurs :-)

soland · December 2016

L'idée est d'éviter l'arsenal usuel (Bézout, lemme de Gauss, factorisation...) et de se restreindre à de considérations d'ordre sur $\mathbb{Q}$, i.e $\gtrless$ etc.

Foys · December 2016

Le premier chiffre non nul à droite de 0.002 x 0.005 est 1, mais celui de 0.00012 x 0.00025?
On ne peut pas se contenter de dire "on prend les premiers chiffres à droite et on les multiplie", pour des nombres décimaux à virgule.

Dom · December 2016

@Foys
On peut justement si le produit des deux "derniers" ne donnent pas 0 modulo 10.
On peut même compter les chiffres, qu'ils soient nuls ou pas qui se placent derrière la virgule à partir de ceux des deux nombres à multiplier.
On peut même donner un sens à ce dénombrement en passant aux entiers (numérateurs des fractions décimales de chacun d'eux).

Plus simplement, Ici, on a un carré et on peut connaître le dernier chiffre non nul placé derrière la virgule.

Je parle de l'algorithme enseigné en primaire que j'admets.

christophe c · December 2016

Effectivement la multiplication posée est une autre preuve et qui a le mérite de pouvoir être exposée dans des petits niveaux.

Pas du tout. Le fait que l'algorithme appris par coeur en CM1 marche est admis et non pas prouvé aux petits. De plus son fonctionnement est trop "caverne d'alibaba" pour donner lieu à une preuve vraiment convaincante aux enfants de cet âge.

Par contre, le fait qu'aucun nombre décimal ne peut donner 2 quand on le met au carré résulte du fait qu'aucun nombre entier n'a un carré égal à 2 fois $10^n$ (en langage enfant: 2000000000....0000)

Pour prouver ce dernier point au CM1 (ça me parait franchement aventureux, mais bon), on génère un "etc, etc" à partir de la remarque que si $(10a+b)^2 = 2.10^{n+2}$ alors $(10a)^2 = 2.10^{n+2}$ et donc $a^2 = 2.10^n$, puisque si $10$ divise $b^2$ avec $b\in \{0;1;2;..;9\}$ alors $b=0$.

Dom · December 2016

En effet, admis en primaire et démontrable au collège même si je crois que ce n'est pas souvent fait.

@cc
Je sais que tu ne me répondais pas, mais j'anticipe ;-)

Edit : quand même @cc, les petits comprennent quand il y a peu de chiffres qu'il s'agit de la distributivité, non formalisée mais utilisée pour le calcul mental, par exemple. Non ?

Félix · December 2016

Bonjour,

Si on effectue la multiplication à la main, on doit écrire tous les chiffres obtenus, y compris les zéros, même à la fin.
Sinon le résultat sera faux.
En effet en commençant par la droite, çàd les derniers chiffres, au moment de passer à la multiplication suivante, c-à-d par le chiffre précédent, on doit décaler le nombre d'un cran vers la gauche, par rapport au nombre précédent (et d'un ou plusieurs crans supplémentaires s'il y a un ou plusieurs zéros au milieu des chiffres).

Exemple sur 102*105 :

1 0 2
1 0 5
---------
    5 1 0
1 0 2
---------
1 0 7 1 0

Si on n'écrit que les chiffres significatifs et que l'on ignore les 0 placés à la fin, on obtient le résultat faux suivant :

1 0 2
1 0 5
---------
      5 1
1 0 2
---------
1 0 2 5 1

Merci Alain (AD) pour ton conseil d'utiliser le bouton "code"
[ajout : et pour avoir corrigé ma bêtise d'avoir incorporé dans le code la phrase entre les deux opérations. T'es un véritable ange gardien !]

soland · December 2016

Un algorithme que j'ai appris en 1959. 57894

Félix · December 2016

Bonjour Soland,

Ceci ne devrait-il pas se trouver dans une autre discussion, un "défi" pour trouver la racine carrée de 32, 604 1 ?

C'est une façon, officiellement enseignée autrefois (je l'ai également apprise, mais rapidement oubliée) de calculer les racines carrées. Elle permet donc également d'obtenir la racine carrée de 2, dont on parle dans ce fil, mais la question initiale de Bulledesavon ne concerne pas exactement ce point précis.

Amicalement