Borner $4444^{4444}$ par des puissances de 10

Alexia-Camille · November 2016

Bonjour,
Je dois borner $4444^{4444}$ au plus près par des puissances de 10.
Je suis en TS SPE MATHS et je n'ai pas encore droit aux logarithmes.

J'ai décomposé 4444 en facteurs premiers : $2^2*11*101$

Pour la borne inférieure, comparer 11 à 10 et 101 à $10^2$ ne pose pas de problème.

Pour la borne supérieure, j'ai calculé au tableur les puissances de 11 et de 101.
Pour 11, je vois que $11^{24}$ < $10^{25}$
Pour 101, le premier chiffre monte très lentement. Je suis donc passé aux puissances de 404 et je vois que $404^{28} < 10^{73}$

on a donc :

$4444^{4444} =(11^{24})^{185}*11^{4}*(404^{28})^{158}*404^{20}$

$4444^{4444} <(10^{25})^{185}*11^4*(10^{73})^{158}*404^{20} = 10^{16159}*11^{4}*404^{20}$

Je trouve ensuite au tableur que $11^4*404^{20} < 10^{53}$
et j'en déduit que $4444^{4444} < 10^{16159+53} = 10^{16212}$

Mais ce qui me gêne, c'est que sans tableur, je n'y serais pas arrivée.

Y a-t-il une méthode plus "propre" ?

Merci

Alexia

Poirot · November 2016

Et bien c'est brutal mais tu peux majorer 11 par $10^2$ et $101$ par $10^3$.

jaybe · November 2016

Factoriser le nombre pour ensuite majorer grossièrement chaque facteur premier, c'est, comment dire... pas très astucieux ?

soland · November 2016

Tu pourrais encadrer 4444 par
deux puissances de 10 .

nicolas.patrois · November 2016

Et pourquoi n’aurais-tu pas droit aux logarithmes ? Les mathématiques ne sont pas un code civil tu as le droit de faire ce que tu veux.
Bon, si c’est faux, maladroit ou un lapin qui sort du chapeau, on te le reprochera.

Félix · November 2016

Bonsoir,

Ce n'est peut-être pas très astucieux, Jaybe, mais le calcul d'Alexia-Camille aboutit à une très fine majoration, 16 212, puisque Excel donne pour le log décimal de la bête 16 210,7...
On ne peut donc gagner qu'une unité.

A la main, et donc bien moins performant, on peut proposer de remplacer 4 444 par 5 000, et bien entendu de conserver la puissance.
On sait que 2¹⁰ = 1 024 :
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
Donc 5¹⁰ sera majoré de façon pas excessivement grossière par une puissance de 10.
Laquelle ?
5*2 = 10
5¹⁰*2¹⁰ = 10¹⁰
Comme 2¹⁰ = 1 024, un peu supérieur à 10³, alors
5¹⁰ un peu inférieur à 10¹⁰ / 10³ = 10⁷
Alors 5000¹⁰ inférieur à 10⁷⁰
Reste à diviser l'exposant, 4 444, par 10, et à le multiplier par 70. Donc à le multiplier par 7.

On obtient 4 444 * 7 = 31 108.
C'est bien au dessus de ton résultat, Alexia-Camille, car on est plutôt dans le domaine du carré du nombre demandé.
Mais c'est une première estimation faisable sans difficulté à la main.
[ajout : erreur de calcul, modification voir plus bas]

Amicalement

Fin de partie · November 2016

Peut-être que cela aide de remarquer que $10^4-1=9\times 1111$ B-)

PS:

Si vous préférez,

$1111=\dfrac{10^4-1}{10-1}$

Félix · November 2016

Je me suis lamentablement planté dans mon calcul.

5¹⁰ < 10⁷
5⁴⁴⁴⁴ < 10³¹¹¹
Et 10³ à la puissance 4444 vaut 10¹³³³² (puisque 5 000 = 5*10³)

13 332 + 3 111 = 16 443, ce qui est bien plus décent !

Pour la suggestion de FdP, 4 444 < 4/9 * 10⁴
Or 4/9 < 1/2 = 0,5

Nous retombons sur le calcul précédent, il faudrait obtenir une meilleure majoration de 4/9 que la mienne pour améliorer la majoration finale.
Désolé pour ma stupide erreur sur les puissances.

pourexemple · November 2016

Bonjour,

J'y réfléchi longtemps avant de trouver.
En fait, on peut faire sans le log, mais avec la racine carré.

On calcule $a_n=(4444)^{1/2^n}$ pour (n=1...17).
On prend le plus grand $a_{c_1}$ tel que $a_{c_1}/10<1$.
................................ $a_{c_2}$ tel que $a_{c_1} \times a_{c_2}/10<1$
...

On calcule $E(4444/(1/2^{c_1}+...+1/2^{c_k}))$ qui nous donne la puissance de 10 qui convient (par défaut).

$E$ la partie entière.

ce qui fait 16212.

Bonne journée.

Borner $4444^{4444}$ par des puissances de 10

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