Polynôme division euclidienne (prépa)
dans Arithmétique
Bonjour je cherche un exercice depuis plusieurs heure mais je n'arrive pas à trouver la solution.
Soit n>=2 un entier et soient a et b deux réels. Exprimer, en fonction de n, a et b, le reste de la division euclidienne du polynôme P=aX^n+bX^(n+1)+1 par le polynôme (X-1) puis par le polynôme X^2-1
Voila l'énoncé si vous savez comment faire est-ce que vous pouvez m'expliquer la méthode ou une piste vers laquelle me diriger.
Merci beaucoup.
Soit n>=2 un entier et soient a et b deux réels. Exprimer, en fonction de n, a et b, le reste de la division euclidienne du polynôme P=aX^n+bX^(n+1)+1 par le polynôme (X-1) puis par le polynôme X^2-1
Voila l'énoncé si vous savez comment faire est-ce que vous pouvez m'expliquer la méthode ou une piste vers laquelle me diriger.
Merci beaucoup.
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Réponses
prends l'habitude de ne pas écrire <<inférieur>> lorsqu'il est essentiel de savoir si c'est large ou strict ! Ici, c'est strict (dans le premier cas) et, de ce fait, un polynôme de degré $<1$ ne devrait pas s'appeler $a+b$, mais simplement $a$. Ensuite de quoi, on peut donner à $x$ <<des>> valeurs particulières... particulièrement bien choisies.
Allez, conclus à présent ! Cordialement, j__j
Allez, je fais le premier : la division euclidienne de $P$ par $X-1$ implique l'existence et l'unicité d'un polynôme $Q$ et d'une constante $c$ telle que
$$P=(X-1) Q + c.$$
En spécialisant $X=1$, il vient $c= P(1) =a+b+1$.
Existe-t-il un exercice que tu ne sais pas résoudre ? :-)
Bien sûr ! Tu ne me verras pas souvent sur les forum de Géométrie ou de Topologie...:)o
Bon dimanche !
[Inutile de reproduire le message précédent. :-) AD]
$$P(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^n(a)(x-a)^n}{n!}$$
tu poses $a=1$:
Ton reste s'écrit alors :
$R(x)=P(1)+P'(1)(x-1)$
Pour qu'il y ait divisibilité ton reste doit s'annuler du coup on trouve :
$$P(1)=P'(1)=0$$
En espérant ne pas passer pour un sophiste (auquel cas je demande aux autres de me corriger)
Cordialement.