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Nombre maximum de points dans un cercle

Envoyé par Al-Kashi 
Nombre maximum de points dans un cercle
il y a deux années
Bonsoir,

Existe-t-il des résultats connus pour le problème suivant:

On cherche les nombres maximum et minimum de points entiers à l'intérieur un cercle de rayon $r$ donné.

Ps: un modérateur pourrait-il changer le titre ? Merci.
Merci,

Al-Kashi



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Al-Kashi.
Dom
Re: Nombres maximum de points dans un cercle
il y a deux années
Un fil parlait de cela...ça doit remonter à plus d'un an...

Bonjour,







Cordialement

Dom
Re: Nombres maximum de points dans un cercle
il y a deux années
avatar
Bonsoir,

Je me rappelle d'un fil ouvert sur le sujet, par Soland (mais avec des sphères je pense et des points rationnels), il avait eu des réponses très intéressantes, mais je n'arrive pas à le retrouver.

Bonne soirée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par jacquot.
Re: Nombres maximum de points dans un cercle
il y a deux années
avatar
Bonjour,

@pourexemple, fais-tu allusion à cette discussion ?[www.les-mathematiques.net]
Là, il est question de points à coordonnées entières sur le cercle ou la sphère.

La question est intéressante, en tous cas.
Re: Nombre maximum de points dans un cercle
il y a deux années
avatar
Bonjour,

@Jacquot : Merci, mais non, ce n'est pas cette conversation, et celle que tu as trouvée est mieux, puisqu'elle est pile poile dans le sujet, encore merci.

PS : c'est celle, dont est dérivée cette conversation.

Bonne journée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Nombre maximum de points dans un cercle
il y a deux années
Bonjour,

Merci pour vos liens mais je me suis mal exprimé.
Je parle du nombre de points à l'intérieur du cercle, autrement dit appartenant au disque.

Al-Kashi
Dom
Re: Nombre maximum de points dans un cercle
il y a deux années
Je pose le problème tel que je le comprends (et l'interprète) :
On considère, dans un repère orthonormé du plan, un cercle de centre $O$ (l'origine du repère) et de rayon $r$.
Quel est le nombre de points à coordonnées entières qui appartiennent au disque (en comptant aussi le cercle) ?

Est-ce cela ?

Bonjour,







Cordialement

Dom



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Dom.
Re: Nombre maximum de points dans un cercle
il y a deux années
avatar
Bonjour,

L'inégalité S-J, donne une approximation majoration pour une norme un convexe (symétrique) quelconque et en dimension quelconque.

PS : ici il faut prendre $a=1$, ce nombre est alors plus petit que $4(r+\frac{1}{2})^2$.

Bonne journée.



Edité 7 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Nombre maximum de points dans un cercle
il y a deux années
avatar
C'est le problème du cercle de Gauss, analogue au problème des diviseurs de Dirichlet qui compte le nombre de points à coordonnées entières sous une hyperbole. Voici la suite A057655 de l'OEIS avec des formules et des références.
Re: Nombre maximum de points dans un cercle
il y a deux années
C'est exactement ce que dit Breyer : le problème du cercle de Gauss.

Très proche du problème des diviseurs de Dirichlet dont j'ai déjà parlé en lui consacrant un fil spécial il y a une dizaine de jours, ce problème concerne l'estimation du terme d'erreur $P(x)$ dans la formule asymptotique
$$\sum_{n \leqslant x} r_2(n) = \pi x + P(x)$$
où $r_2(n)$ désigne le nombre de décompositions de $n$ en somme de deux carrés.

Une littérature intensive existe pour ce problème, autant que pour le problème des diviseurs, pour lequel toutes les estimations de $P(x)$ (max, min, en moyenne quadratique, etc) sont connues. Ils se traite de la même manière que le problème des diviseurs de Dirichlet et les résultats sont quasi-identiques. En particulier, on doit à Huxley (2003) la meilleure majoration actuelle suivante
$$\sum_{n \leqslant x} r_2(n) = \pi x + O_{\varepsilon} \left( x^{131/416 + \varepsilon} \right)$$
et l'on conjecture que la valeur $\frac{131}{416} \approx 0,3149 \dotsc$ peut être remplacée par $\frac{1}{4}$, valeur qui ne peut pas être améliorée.

Pour un bon survol de tous ces problèmes arithmétiques, lire : [arxiv.org]

D'une manière générale, tous ces problèmes de dénombrement de points entiers contenus dans une région donnée d'aire $\gg 1$ se traitent peu ou prou de la même façon : en comparant le nombre de points avec l'aire de la région.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par noix de totos.
Re: Nombre maximum de points dans un cercle
il y a deux années
avatar
Merci noix de totos pour ce très intéressant article d'Ivic et al.
Re: Nombre maximum de points dans un cercle
il y a deux années
Je dois vraiment mal m'exprimer ce matin.
Bon passons aux exemples cela sera plus clair.

Pour $r=0$ on obtient le minimum de point si le centre est un point à coordonnées non entières soit un minimum de $0$ et on obtient le maximum si le centre est un point à coordonnées entières soit un maximum de $1$


Pour $r=1$ on obtient le minimum de point si le centre est par exemple $(0.1,0.1)$soit un minimum de $3$ et on obtient le maximum si le centre est un point à coordonnées entières soit un maximum de $5$

Pour $r=2$ il me semble qu'on obtient un maximum de $14$ et un minimum de $11$

Et ainsi de suite.

Merci pour vos interventions,

Al-Kashi



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Al-Kashi.
Re: Nombre maximum de points dans un cercle
il y a deux années
@Al Kashi : tout ce que tu souhaites est contenu plus haut (où $x$ désigne le rayon) et dans le preprint ci-dessus. Par exemple, l'encadrement de Gauss avec $x=1$ donne $1 \leqslant A(1) \leqslant 9$ et avec $x=2$ on obtient $2 \leqslant A(2) \leqslant 14$.

On peut sans doute affiner l'argument de Gauss, mais certainement pas obtenir de formule exacte.
Re: Nombre maximum de points dans un cercle
il y a deux années
avatar
Bonjour,

Je pense ne pas être hors de sujet en te disant, qu'un majorant du max est $4\times (r+\frac{1}{2})^2$, même si on peut faire mieux, mais c'est déjà un pas vers la bonne direction, non ?

Bonne journée.
Dom
Re: Nombre maximum de points dans un cercle
il y a deux années
Pour le moment, c'est donc Le meilleur des mondes depuis 2003 smiling bouncing smiley

Bonjour,







Cordialement

Dom
Re: Nombre maximum de points dans un cercle
il y a deux années
avatar
J'aime bien reformuler le problème de Gauss au moyen de la fonction partie fractionnaire car peut-être qu'il y a des choses à faire de ce côté. Par exemple en notant:

$$S(n)=\sum_{1\leq k\leq n^{1/2}}\left\{ \sqrt{n-k^{2}}\right\}$$
Je conjecture que pour $n\geq1$ on a

$$(1)\,\,\left(n^{1/4}-2\right)^{2}\leq2S(n)\leq\left(n^{1/4}+2\right)^{2}$$

Cette inégalité est équivalente à la conjecture du problème de Gauss. En effet on sait montrer que

$$(2)\,\,\sum_{0\leq k\leq n^{1/2}}\sqrt{n-k^{2}}=\frac{\pi}{4}n+\frac{n^{1/2}}{2}+O\left(n^{1/4}\right)$$

(A noter que l'on a $\sum_{1\leq k\leq m}\sqrt{m^{2}-k^{2}}=\frac{\pi}{4}m^{2}+\frac{m}{2}-cm^{1/2}+O\left(1\right)$ avec $c=0.29398...$ mais le $O\left(n^{1/4}\right)$ dans (2) n'est pas si simple en général).

Puis comme on a



$$\sum_{1\leq k\leq n^{1/2}}\left\lfloor \sqrt{n-k^{2}}\right\rfloor =\sum_{0\leq k\leq n^{1/2}}\sqrt{n-k^{2}}-S(n)$$

L'inégalité conjecturale (1) du dessus donnerait alors avec (2)

$$\sum_{1\leq k\leq n^{1/2}}\left\lfloor \sqrt{n-k^{2}}\right\rfloor =\frac{\pi}{4}n+O(n^{1/4})$$

Illustration de l'inégalité (1) avec ces 2 graphiques représentant $S(n)$ encadré par $(n^{1/4}+-2)^2$ pour $n$ de $1$ à $10^5$ pour le premier puis pour $n$ de $10^6$ à $10^6+10^5$ pour le second.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Breyer.


Re: Nombre maximum de points dans un cercle
il y a deux années
@pourexemple
Oui. En fait je cherche à savoir si on a des résultats "exacts" mais comme le dit noix de totos je pense que cela doit être compliqué.

Al-Kashi
Re: Nombre maximum de points dans un cercle
il y a deux années
@Al Kashi : d'une manière générale (et sans entrer dans les détails), dès que tu veux estimer une moyenne d'une fonction arithmétique, il y a très, très peu de chance d'obtenir une formule "close". L'idée est donc toujours de dégager un terme principal, puis de minimiser le terme d'erreur.

Parfois, il se peut toutefois qu'il y ait une identité simple : par exemple, $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n} = 0$.

@Breyer : Tu dis

Citation
Breyer
J'aime bien reformuler le problème de Gauss au moyen de la fonction partie fractionnaire.

C'est justement ce que l'on fait pour traiter ce problème. Plus précisément, on montre que, si $P(x)$ est le terme d'erreur dans le problème du cercle et si $\psi(x) := \{x\} - \frac{1}{2}$ est la première fonction de Bernoulli (plus pratique à utiliser que la partie fractionnaire simple), alors
$$P(x) = 4 \sum_{n \leqslant \sqrt x} \left \{ \psi \left( \frac{x}{4n+1} \right) - \psi \left( \frac{x}{4n+3} \right) + \psi \left( \frac{x-3}{4n} \right) - \psi \left( \frac{x-1}{4n} \right) \right \}.$$
Ceci s'obtient en remplaçant $r_2(n)$ par $4 \left( \chi_4 \star \mathbf{1} \right)$ où $\chi_4$ est l'unique caractère de Dirichlet, non principal, réel, primitif modulo $4$.

Ces quatre sommes se traitent quasi de la même façon : avec la théorie des sommes d'exponentielles. On obtient alors des résultats similaires à ceux du problème des diviseurs de Dirichlet. En particulier, si $(k,\ell)$ est une paire d'exposants, alors
$$P(x) \ll x^{\frac{k+ \ell}{2k+2}} \log x$$
et tu peux même enlever le logarithme si tu ne prends pas la paire d'exposants $\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ de van der Corput. Par exemple, avec la paire d'exposants $(k,\ell) = \left( \frac{97}{251} , \frac{132}{251} \right)$, on obtient
$$P(x) \ll x^{229/696} \approx x^{0,32902}$$
ce qui est assez proche du résultat d'Huxley, et une amélioration sensible de celui de Gauss.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par noix de totos.
Re: Nombre maximum de points dans un cercle
il y a deux années
avatar
@noix de totos:
Merci pour ces précisions. Je sais qu'on essaie souvent de profiter du développement en série de Fourier de $\psi$. Mais je voulais surtout dire que tous ces problèmes semblent liés à une propriété intrinsèque de la fonction partie fractionnaire que les mathématiciens n'ont pas vraiment réussi à débusquer et pour moi davantage lié au reste des sommes de Riemman d'intégrales du type $\int_{0}^{1}\left\{ \frac{1}{at+b}\right\} dt$.
Re: Nombre maximum de points dans un cercle
il y a deux années
Les chercheurs du 20ème siècle, comme Walfisz, Vinogradov ou encore van der Corput, ont tous essayé d'apprivoiser la fonction partie fractionnaire, sans succès, sinon l'utilisation de son développement en série de Fourier, ce qui a conduit à élaborer cette théorie des sommes d'exponentielles toujours en vigueur actuellement.

Les progrès récents, dus essentiellement à Huxley, proviennent d'une touche supplémentaire : on y a ajouté des résultats provenant de la théorie des points entiers proches d'une courbe régulière. Toutefois, cette théorie ne progresse plus depuis une dizaine d'années.
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