Nombre maximum de points dans un cercle
dans Arithmétique
Bonsoir,
Existe-t-il des résultats connus pour le problème suivant:
On cherche les nombres maximum et minimum de points entiers à l'intérieur un cercle de rayon $r$ donné.
Ps: un modérateur pourrait-il changer le titre ? Merci.
Merci,
Al-Kashi
Existe-t-il des résultats connus pour le problème suivant:
On cherche les nombres maximum et minimum de points entiers à l'intérieur un cercle de rayon $r$ donné.
Ps: un modérateur pourrait-il changer le titre ? Merci.
Merci,
Al-Kashi
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Réponses
Je me rappelle d'un fil ouvert sur le sujet, par Soland (mais avec des sphères je pense et des points rationnels), il avait eu des réponses très intéressantes, mais je n'arrive pas à le retrouver.
Bonne soirée.
@pourexemple, fais-tu allusion à cette discussion ?http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1295133,1295133#msg-1295133
Là, il est question de points à coordonnées entières sur le cercle ou la sphère.
La question est intéressante, en tous cas.
@Jacquot : Merci, mais non, ce n'est pas cette conversation, et celle que tu as trouvée est mieux, puisqu'elle est pile poile dans le sujet, encore merci.
PS : c'est celle, dont est dérivée cette conversation.
Bonne journée.
Merci pour vos liens mais je me suis mal exprimé.
Je parle du nombre de points à l'intérieur du cercle, autrement dit appartenant au disque.
Al-Kashi
On considère, dans un repère orthonormé du plan, un cercle de centre $O$ (l'origine du repère) et de rayon $r$.
Quel est le nombre de points à coordonnées entières qui appartiennent au disque (en comptant aussi le cercle) ?
Est-ce cela ?
L'inégalité S-J, donne une approximation majoration pour une norme un convexe (symétrique) quelconque et en dimension quelconque.
PS : ici il faut prendre $a=1$, ce nombre est alors plus petit que $4(r+\frac{1}{2})^2$.
Bonne journée.
Très proche du problème des diviseurs de Dirichlet dont j'ai déjà parlé en lui consacrant un fil spécial il y a une dizaine de jours, ce problème concerne l'estimation du terme d'erreur $P(x)$ dans la formule asymptotique
$$\sum_{n \leqslant x} r_2(n) = \pi x + P(x)$$
où $r_2(n)$ désigne le nombre de décompositions de $n$ en somme de deux carrés.
Une littérature intensive existe pour ce problème, autant que pour le problème des diviseurs, pour lequel toutes les estimations de $P(x)$ (max, min, en moyenne quadratique, etc) sont connues. Ils se traite de la même manière que le problème des diviseurs de Dirichlet et les résultats sont quasi-identiques. En particulier, on doit à Huxley (2003) la meilleure majoration actuelle suivante
$$\sum_{n \leqslant x} r_2(n) = \pi x + O_{\varepsilon} \left( x^{131/416 + \varepsilon} \right)$$
et l'on conjecture que la valeur $\frac{131}{416} \approx 0,3149 \dotsc$ peut être remplacée par $\frac{1}{4}$, valeur qui ne peut pas être améliorée.
Pour un bon survol de tous ces problèmes arithmétiques, lire : https://arxiv.org/pdf/math/0410522.pdf
D'une manière générale, tous ces problèmes de dénombrement de points entiers contenus dans une région donnée d'aire $\gg 1$ se traitent peu ou prou de la même façon : en comparant le nombre de points avec l'aire de la région.
Bon passons aux exemples cela sera plus clair.
Pour $r=0$ on obtient le minimum de point si le centre est un point à coordonnées non entières soit un minimum de $0$ et on obtient le maximum si le centre est un point à coordonnées entières soit un maximum de $1$
Pour $r=1$ on obtient le minimum de point si le centre est par exemple $(0.1,0.1)$soit un minimum de $3$ et on obtient le maximum si le centre est un point à coordonnées entières soit un maximum de $5$
Pour $r=2$ il me semble qu'on obtient un maximum de $14$ et un minimum de $11$
Et ainsi de suite.
Merci pour vos interventions,
Al-Kashi
On peut sans doute affiner l'argument de Gauss, mais certainement pas obtenir de formule exacte.
Je pense ne pas être hors de sujet en te disant, qu'un majorant du max est $4\times (r+\frac{1}{2})^2$, même si on peut faire mieux, mais c'est déjà un pas vers la bonne direction, non ?
Bonne journée.
$$S(n)=\sum_{1\leq k\leq n^{1/2}}\left\{ \sqrt{n-k^{2}}\right\}$$
Je conjecture que pour $n\geq1$ on a
$$(1)\,\,\left(n^{1/4}-2\right)^{2}\leq2S(n)\leq\left(n^{1/4}+2\right)^{2}$$
Cette inégalité est équivalente à la conjecture du problème de Gauss. En effet on sait montrer que
$$(2)\,\,\sum_{0\leq k\leq n^{1/2}}\sqrt{n-k^{2}}=\frac{\pi}{4}n+\frac{n^{1/2}}{2}+O\left(n^{1/4}\right)$$
(A noter que l'on a $\sum_{1\leq k\leq m}\sqrt{m^{2}-k^{2}}=\frac{\pi}{4}m^{2}+\frac{m}{2}-cm^{1/2}+O\left(1\right)$ avec $c=0.29398...$ mais le $O\left(n^{1/4}\right)$ dans (2) n'est pas si simple en général).
Puis comme on a
$$\sum_{1\leq k\leq n^{1/2}}\left\lfloor \sqrt{n-k^{2}}\right\rfloor =\sum_{0\leq k\leq n^{1/2}}\sqrt{n-k^{2}}-S(n)$$
L'inégalité conjecturale (1) du dessus donnerait alors avec (2)
$$\sum_{1\leq k\leq n^{1/2}}\left\lfloor \sqrt{n-k^{2}}\right\rfloor =\frac{\pi}{4}n+O(n^{1/4})$$
Illustration de l'inégalité (1) avec ces 2 graphiques représentant $S(n)$ encadré par $(n^{1/4}+-2)^2$ pour $n$ de $1$ à $10^5$ pour le premier puis pour $n$ de $10^6$ à $10^6+10^5$ pour le second.
Oui. En fait je cherche à savoir si on a des résultats "exacts" mais comme le dit noix de totos je pense que cela doit être compliqué.
Al-Kashi
Parfois, il se peut toutefois qu'il y ait une identité simple : par exemple, $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n} = 0$.
@Breyer : Tu dis
C'est justement ce que l'on fait pour traiter ce problème. Plus précisément, on montre que, si $P(x)$ est le terme d'erreur dans le problème du cercle et si $\psi(x) := \{x\} - \frac{1}{2}$ est la première fonction de Bernoulli (plus pratique à utiliser que la partie fractionnaire simple), alors
$$P(x) = 4 \sum_{n \leqslant \sqrt x} \left \{ \psi \left( \frac{x}{4n+1} \right) - \psi \left( \frac{x}{4n+3} \right) + \psi \left( \frac{x-3}{4n} \right) - \psi \left( \frac{x-1}{4n} \right) \right \}.$$
Ceci s'obtient en remplaçant $r_2(n)$ par $4 \left( \chi_4 \star \mathbf{1} \right)$ où $\chi_4$ est l'unique caractère de Dirichlet, non principal, réel, primitif modulo $4$.
Ces quatre sommes se traitent quasi de la même façon : avec la théorie des sommes d'exponentielles. On obtient alors des résultats similaires à ceux du problème des diviseurs de Dirichlet. En particulier, si $(k,\ell)$ est une paire d'exposants, alors
$$P(x) \ll x^{\frac{k+ \ell}{2k+2}} \log x$$
et tu peux même enlever le logarithme si tu ne prends pas la paire d'exposants $\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ de van der Corput. Par exemple, avec la paire d'exposants $(k,\ell) = \left( \frac{97}{251} , \frac{132}{251} \right)$, on obtient
$$P(x) \ll x^{229/696} \approx x^{0,32902}$$
ce qui est assez proche du résultat d'Huxley, et une amélioration sensible de celui de Gauss.
Merci pour ces précisions. Je sais qu'on essaie souvent de profiter du développement en série de Fourier de $\psi$. Mais je voulais surtout dire que tous ces problèmes semblent liés à une propriété intrinsèque de la fonction partie fractionnaire que les mathématiciens n'ont pas vraiment réussi à débusquer et pour moi davantage lié au reste des sommes de Riemman d'intégrales du type $\int_{0}^{1}\left\{ \frac{1}{at+b}\right\} dt$.
Les progrès récents, dus essentiellement à Huxley, proviennent d'une touche supplémentaire : on y a ajouté des résultats provenant de la théorie des points entiers proches d'une courbe régulière. Toutefois, cette théorie ne progresse plus depuis une dizaine d'années.