Nombre maximum de points dans un cercle

Un fil parlait de cela...ça doit remonter à plus d'un an...

Bonjour,

@pourexemple, fais-tu allusion à cette discussion ?http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1295133,1295133#msg-1295133
Là, il est question de points à coordonnées entières sur le cercle ou la sphère.

La question est intéressante, en tous cas.

Bonjour,

L'inégalité S-J, donne une approximation majoration pour une norme un convexe (symétrique) quelconque et en dimension quelconque.

PS : ici il faut prendre $a=1$, ce nombre est alors plus petit que $4(r+\frac{1}{2})^2$.

Bonne journée.

C'est exactement ce que dit Breyer : le problème du cercle de Gauss.

Très proche du problème des diviseurs de Dirichlet dont j'ai déjà parlé en lui consacrant un fil spécial il y a une dizaine de jours, ce problème concerne l'estimation du terme d'erreur $P(x)$ dans la formule asymptotique
$$\sum_{n \leqslant x} r_2(n) = \pi x + P(x)$$
où $r_2(n)$ désigne le nombre de décompositions de $n$ en somme de deux carrés.

Une littérature intensive existe pour ce problème, autant que pour le problème des diviseurs, pour lequel toutes les estimations de $P(x)$ (max, min, en moyenne quadratique, etc) sont connues. Ils se traite de la même manière que le problème des diviseurs de Dirichlet et les résultats sont quasi-identiques. En particulier, on doit à Huxley (2003) la meilleure majoration actuelle suivante
$$\sum_{n \leqslant x} r_2(n) = \pi x + O_{\varepsilon} \left( x^{131/416 + \varepsilon} \right)$$
et l'on conjecture que la valeur $\frac{131}{416} \approx 0,3149 \dotsc$ peut être remplacée par $\frac{1}{4}$, valeur qui ne peut pas être améliorée.

Pour un bon survol de tous ces problèmes arithmétiques, lire : https://arxiv.org/pdf/math/0410522.pdf

D'une manière générale, tous ces problèmes de dénombrement de points entiers contenus dans une région donnée d'aire $\gg 1$ se traitent peu ou prou de la même façon : en comparant le nombre de points avec l'aire de la région.

Bonjour,

Je pense ne pas être hors de sujet en te disant, qu'un majorant du max est $4\times (r+\frac{1}{2})^2$, même si on peut faire mieux, mais c'est déjà un pas vers la bonne direction, non ?

Bonne journée.

J'aime bien reformuler le problème de Gauss au moyen de la fonction partie fractionnaire car peut-être qu'il y a des choses à faire de ce côté. Par exemple en notant:

$$S(n)=\sum_{1\leq k\leq n^{1/2}}\left\{ \sqrt{n-k^{2}}\right\}$$
Je conjecture que pour $n\geq1$ on a

$$(1)\,\,\left(n^{1/4}-2\right)^{2}\leq2S(n)\leq\left(n^{1/4}+2\right)^{2}$$

Cette inégalité est équivalente à la conjecture du problème de Gauss. En effet on sait montrer que

$$(2)\,\,\sum_{0\leq k\leq n^{1/2}}\sqrt{n-k^{2}}=\frac{\pi}{4}n+\frac{n^{1/2}}{2}+O\left(n^{1/4}\right)$$

(A noter que l'on a $\sum_{1\leq k\leq m}\sqrt{m^{2}-k^{2}}=\frac{\pi}{4}m^{2}+\frac{m}{2}-cm^{1/2}+O\left(1\right)$ avec $c=0.29398...$ mais le $O\left(n^{1/4}\right)$ dans (2) n'est pas si simple en général).

Puis comme on a



$$\sum_{1\leq k\leq n^{1/2}}\left\lfloor \sqrt{n-k^{2}}\right\rfloor =\sum_{0\leq k\leq n^{1/2}}\sqrt{n-k^{2}}-S(n)$$

L'inégalité conjecturale (1) du dessus donnerait alors avec (2)

$$\sum_{1\leq k\leq n^{1/2}}\left\lfloor \sqrt{n-k^{2}}\right\rfloor =\frac{\pi}{4}n+O(n^{1/4})$$

Illustration de l'inégalité (1) avec ces 2 graphiques représentant $S(n)$ encadré par $(n^{1/4}+-2)^2$ pour $n$ de $1$ à $10^5$ pour le premier puis pour $n$ de $10^6$ à $10^6+10^5$ pour le second.

@Al Kashi : d'une manière générale (et sans entrer dans les détails), dès que tu veux estimer une moyenne d'une fonction arithmétique, il y a très, très peu de chance d'obtenir une formule "close". L'idée est donc toujours de dégager un terme principal, puis de minimiser le terme d'erreur.

Parfois, il se peut toutefois qu'il y ait une identité simple : par exemple, $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n} = 0$.

@Breyer : Tu dis

Breyer a écrit:

J'aime bien reformuler le problème de Gauss au moyen de la fonction partie fractionnaire.

C'est justement ce que l'on fait pour traiter ce problème. Plus précisément, on montre que, si $P(x)$ est le terme d'erreur dans le problème du cercle et si $\psi(x) := \{x\} - \frac{1}{2}$ est la première fonction de Bernoulli (plus pratique à utiliser que la partie fractionnaire simple), alors
$$P(x) = 4 \sum_{n \leqslant \sqrt x} \left \{ \psi \left( \frac{x}{4n+1} \right) - \psi \left( \frac{x}{4n+3} \right) + \psi \left( \frac{x-3}{4n} \right) - \psi \left( \frac{x-1}{4n} \right) \right \}.$$
Ceci s'obtient en remplaçant $r_2(n)$ par $4 \left( \chi_4 \star \mathbf{1} \right)$ où $\chi_4$ est l'unique caractère de Dirichlet, non principal, réel, primitif modulo $4$.

Ces quatre sommes se traitent quasi de la même façon : avec la théorie des sommes d'exponentielles. On obtient alors des résultats similaires à ceux du problème des diviseurs de Dirichlet. En particulier, si $(k,\ell)$ est une paire d'exposants, alors
$$P(x) \ll x^{\frac{k+ \ell}{2k+2}} \log x$$
et tu peux même enlever le logarithme si tu ne prends pas la paire d'exposants $\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ de van der Corput. Par exemple, avec la paire d'exposants $(k,\ell) = \left( \frac{97}{251} , \frac{132}{251} \right)$, on obtient
$$P(x) \ll x^{229/696} \approx x^{0,32902}$$
ce qui est assez proche du résultat d'Huxley, et une amélioration sensible de celui de Gauss.

Les chercheurs du 20ème siècle, comme Walfisz, Vinogradov ou encore van der Corput, ont tous essayé d'apprivoiser la fonction partie fractionnaire, sans succès, sinon l'utilisation de son développement en série de Fourier, ce qui a conduit à élaborer cette théorie des sommes d'exponentielles toujours en vigueur actuellement.

Les progrès récents, dus essentiellement à Huxley, proviennent d'une touche supplémentaire : on y a ajouté des résultats provenant de la théorie des points entiers proches d'une courbe régulière. Toutefois, cette théorie ne progresse plus depuis une dizaine d'années.