Les nombres anti-premiers

lesmathspointclaires
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dans Arithmétique
Bonjour,

Un nombre anti-premier est un entier qui a strictement plus de diviseurs que chacun de ses prédécesseurs.

par exemple :
$4$ est anti-premier car il a $3$ diviseurs (il a plus de diviseurs que $2$ et $3$ qui n'en ont que deux et que $1$ qui n'en a qu'un)
$6$ est aussi anti-premier car il a $4$ diviseurs (et donc il en a plus que $5$ qui n'en a que deux et plus que $4$ qui n'en a que trois etc...)
On vérifie que
$12$ est anti-premier avec $6$ diviseurs,
$60$ est anti-premier avec $12$ diviseurs
$5040$ est anti-premier avec $60$ diviseurs...

Du coup je me demande si on peut prolonger cette suite...
Autrement dit, en notant $d(n)$ le nombre de diviseurs d'un entier $n$ :
existe t-il une suite définie par $u_n= d(u_{n+1})$ et $d(u_n)>d(p),\,\forall p<u_n$

Réponses

  • Cidrolin
    Cidrolin
    Sans doute : http://oeis.org/A002182
  • noix de totos
    noix de totos
    Je réponds un peu à côté, mais bon...

    Ces entiers sont proches des nombres hautement composés. Il est, à mon sens, intéressant de voir comment Ramanujan, Erdös et Nicolas, entre autres, les ont utilisés pour obtenir de bonnes estimations explicites de fonctions arithmétiques usuelles liées aux diviseurs.
  • lesmathspointclaires
    lesmathspointclaires
    merci Cidrolon! Il y a l'air d'y avoir pas mal de trucs, je trouverai surement des éléments de réponse.
    Oui noix de totos, ce sont les nombres hautement composés:)
  • pourexemple
    pourexemple
    Bonjour,

    On appelle aussi cela des entiers friables.

    Bonne journée.
  • Breyer
    Breyer
    Non les entiers friables c'est autre chose (k-smooth number en anglais).
  • pourexemple
    pourexemple
    Les entiers que proposent Jean Claude sont des entiers friables, me semble-t-il.
  • noix de totos
    noix de totos
    Les entiers dits "friables" sont les entiers sans grands facteurs premiers. Ce n'est pas cela dont il est question ici.
  • pourexemple
    pourexemple
    Aurais-tu un exemple, d'entier non friable qui soit anti-premier ?
  • pourexemple
    pourexemple
    Bon déjà on sait que si $a=p_1^{k_1}\times ...\times p_n^{k_n}$ est un entier avec les $p_i$ entier premiers distincts, alors le nombre de diviseur de a est $(k_1+1)\times ...\times (k_n+1)-1$
  • Poirot
    Poirot
    @pourexemple : $2^n$ est $2$-friable, pourtant il n'a que $n+1$ diviseurs distincts, tandis que $3.2^{n-2}$ (qui lui est inférieur) admet $2n-2$ diviseurs distincts...
  • noix de totos
    noix de totos
    Comme le souligne Poirot, la notion de "friable" dépend évidemment d'un nombre $y \geqslant 1$ que l'on se fixe : on dit qu'un entier $n$ est $y$-friable si $P^+(n) \leqslant y$, où $P^+$ désigne le plus grand facteur premier (avec les conventions usuelles).

    Il est donc facile de donner des exemples d'entiers non $y$-friables et hautement composés. D'ailleurs, on montre que ces derniers ont une décomposition primaire de la forme $2^{\alpha_2} 3^{\alpha_3} \dotsb p_k^{\alpha_{p_k}}$ avec $\alpha_2 \geqslant \alpha_3 \geqslant \dotsb \geqslant \alpha_{p_k}$ et $\alpha_{p_k}=1$ sauf pour les nombres $4$ et $36$.

    Référence.

    S. Ramanujan, Highly composite numbers, Proc. London Math. Soc. Ser. 2 14 (1915), 347-400; Collected papers, pp. 78-128.
  • pourexemple
    pourexemple
    Bonsoir,

    Merci à vous 2, mais Poirot a donné un exemple d'entier friable non anti-premier, or j'ai émis l'hypothèse que les anti-premiers étaient friables, donc cela ne réfute pas l'hypothèse.

    Ensuite pour ce qui est de la formule de la décomposition, si tous nombres de cette forme est anti-premier, alors effectivement cela permet de donner "facilement" des exemples qui mettent en défaut l’hypothèse dans le cas contraire, un exemple concret serait suffisant.

    Merci et bonne soirée.
  • Sylvain
    Sylvain
    @noix de totos : $ \alpha_{k} $ ou $ \alpha_{p_{k}} $ ?
  • noix de totos
    noix de totos
    Oui, c'est $\alpha_{p_k}$. Je corrige. Merci !
  • pourexemple
    pourexemple
    Bonsoir,

    Avec cette information, si on prend le cas le plus défavorable (à la friabilité) : $N=2\times 3 \times ...\times p_{2n+1}$
    les coefficients sont tous égaux à 1. Et bien c'est entier est bien $p_{2n+1}$-friable, avec $N$ de l'ordre de $p_{2n+1}^{n+1}$.

    Bonne soirée.
  • Poirot
    Poirot
    @pourexemple : le cas le plus défavorable à la friabilité serait tout simplement $p_n$ (pourquoi as-tu indexé avec $2n+1$ ?). Un entier est $k$-friable lorsque tous ses facteurs premiers sont inférieurs ou égaux à $k$.

    Et qu'entends-tu par "avec $N$ de l'ordre de $p_{2n+1}^{n+1}$" ? $N$ est beaucoup plus petit que $p_{2n+1}^{n+1}$.
  • pourexemple
    pourexemple
    Citation Noix de Totos :
    D'ailleurs, on montre que ces derniers ont une décomposition primaire de la forme $2^{\alpha_2} 3^{\alpha_3} \dotsb p_k^{\alpha_{p_k}}$ avec $\alpha_2 \geqslant \alpha_3 \geqslant \dotsb \geqslant \alpha_{p_k}$ et $\alpha_{p_k}=1$ sauf pour les nombres $4$ et $36$.

    Si on reprend cette forme, avec le cas le plus défavorable à la friabilité on a : $N=2\times 3 \times...\times p_{2n+1}=(2\times p_{2n})\times (3\times p_{2n-1})...\times (p_{n}\times p_{n+1}) \times p_{2n+1}$ de l'ordre de $p_{2n+1}^{n+1}$ qui est un entier $p_{2n+1}$-friable.

    Bonne soirée.
  • Chaurien
    Chaurien
    Ces dits « anti-premiers » ne sont-ils pas exactement les nombres « hautement composés » donnés par l'OEIS A002182 ?
    Il paraît que dans les années 1960 Raymond Badiou, professeur de mathématiques et maire de Toulouse, en parlait à ses élèves sous le nom de « ploutons ».
  • noix de totos
    noix de totos
    Chaurien a écrit:
    Ces dits « anti-premiers » ne sont-ils pas exactement les nombres « hautement composés »

    C'est ce que j'ai dit plus haut.
    Chaurien a écrit:
    sous le nom de « ploutons »

    On a évoqué ici ce terme il y a environ une dizaine d'années avec le regretté Richard-André Jeannin qui avait, à ce moment-là, démontré une fois de plus son grand sens de l'humour.

    Ces nombres hautement composés ont par la suite été généralisés à des fonctions de diviseurs plus générales (nombres super-abondants, etc).
  • Jean-Louis
    Jean-Louis
    Chaurien, je confirme que le regretté Raymond Badiou nous parlait de ces nombres sous le nom de ploutons. Je crois qu'il se vantait un peu en disant (si ma mémoire est bonne) les avoir "découverts". C'était le bon temps , année 1966 pour moi.
    Cordialement.
    Jean-Louis.
  • Chaurien
    Chaurien
    Jean-Louis, tu as donc eu Raymond Badiou comme professeur en 1966, une année avant son départ en retraite. https://drive.google.com/file/d/1vESjDIUMGTKg8aYK_AhB-jE8OUj2uPPM/view
    Il est possible qu'il se soit posé à cette époque le problème de ces nombres, et qu'il en ait redécouvert des propriétés sans connaître les travaux d'Erdös et Ramanujan à leur sujet, auquel cas ce qu'il en disait ne serait pas de la vantardise.
    Je me souviens que Jean Brette m'avait montré un polycopié de Raymond Badiou présentant les propriétés de ces « ploutons » avec cette
    appellation ; c'était il y a plus de trente ans. Il y a aussi un article de Raymond Badiou à ce sujet dans le bulletin de l'APMEP de septembre 1965, à l'époque où il vous en a parlé.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    Je viens de retrouver l'article : Sur les entiers « riches en diviseurs », par Raymond Badiou, professeur au lycée Fermat (Toulouse), Bulletin de l'APMEP n° 249, septembre 1965, pp. 409-414. Il donne son appellation de « ploutons » à ces nombres. Contrairement à ce que j'avais imaginé, il signale que Ramanujan a étudié ces nombres en 1915, dans un mémoire que voici, commenté par Jean-Louis Nicolas : http://math.univ-lyon1.fr/~nicolas/ramanujanNR.pdf.
    Raymond Badiou déclare adopter un point de vue plus élémentaire pour son article.
    A-t-il quand même redécouvert ces nombres, et appris ensuite que Ramanujan les avait étudiés longtemps auparavant ? Ou bien, comme dit Jean-Louis, se vantait-il ? N'oublions pas que c'était un politicien de gauche ;-)...
    Bonne nuit.
    Fr. Ch.
  • Jean-Louis
    Jean-Louis
    Anecdote sur Raymond Badiou. Au milieu d'une explication, il s’arrêtait , au milieu de l'allée centrale, prenait une chaise, et s'en servait pour e relacer ses lacets de chaussures. Il faisait ça au moins une fois par cours. Et la classe restait silencieuse comme je n'en ai jamais vu d'aussi silencieuses.
    Bonne journée.
    Jean-Louis.
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