Nouvelle formule inconnue ?

gnegne · January 2017

Bonjour à tous

Il me semble que j'ai découvert quelque chose de tout à fait étonnant aujourd'hui. Bien évidemment je sais pertinemment que je ne dois pas être le premier à être tombé dessus mais je n'en trouve aucune trace dans toutes mes recherches. Pourriez-vous m'indiquer si cette formule vous semble être juste et d'où provient-elle ?? $$
\forall \gamma \in \mathbb N, \ \forall n \in \mathbb N, \ n \geq \gamma,\ \sum\limits_{\substack{k=0}}^{\gamma}{\binom{\gamma}{k}(-1)^k(n-k)^{\gamma}=\gamma!}
$$ Elle permettrait par exemple de calculer toutes les puissances quelconques de tous les nombres jusqu'à un certain rang en effectuant uniquement des sommes et non des multiplications. En effet grâce à cette formule on calcule la puissance gamma d'un nombre grâce aux gamma nombres précédents.
Je vous remercie d'avance.
Très cordialement
Gnegne

Fin de partie · January 2017

Euler connaissait cette formule il y a près de 3 siècles.

On en a parlé ici il y a peu de temps. Il faudrait que je retrouve le lien sur ce fil de discussions où des preuves diverses et variées ont été données de ce résultat (ou un résultat très proche).

Fin de partie · January 2017

J'ai retrouvé le lien sur le fil de messages en question (c'est grâce à Jandri. C'est plus facile de lister la liste de ses messages que celle des miens :-D )

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1346454,1348802

Chaurien · January 2017

Même si Euler la connaissait, il est remarquable d'avoir retrouvé cette formule par soi-même.
Maintenant je ne vois pas en quoi cette formule « permettrait par exemple de calculer toutes les puissances quelconques de tous les nombres jusqu'à un certain rang ».

gnegne · January 2017

Bonjour,

Je vous remercie beaucoup pour votre aide.
J'ai trouvé cela en remarquant que la différence de la différence de carrés consécutifs était une constante, et qu'ainsi de suite la différence de la différence de la différence de cubes consécutifs était également une constante et cette constante s'avérait être cette même puissance factorielle.
Euh je voulais juste dire que l'on calcule la puissance gamma d'un nombre grâce aux gamma puissances gamma des nombres précédentes. Cela me semblait plus rapide en terme algorithmique pour calculer toutes les puissances jusqu'à un certain nombre.

Et merci pour le lien je regarde tout ça !

gnegne · January 2017

et je pense que l'avantage de ma formule par rapport à celle de Mehdi est que cette égalité est vraie pour tout rang en réalité ! On peut commencer à calculer les puissances 5 à partir de n=1000 par exemple.

Fin de partie · January 2017

On a des formules aussi pour des sommes comme:

$1+2^r+....+n^r$ avec $r$ un entier.

PS:
En fait on a:
Pour tout $n$ entier naturel et $x$ réel.
$\displaystyle \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} (-1)^j(x-j)^n=n!$

gnegne · January 2017

En effet,

Et où pourrais-je trouver la formulation donnée par Euler ?

Merci

Fin de partie · January 2017

Gnegne:

Dans ses écrits dont beaucoup sont consultables en ligne.
Mais je ne peux pas te donner de références très précises.
La référence à Euler, je l'ai lue dans un texte qui ne cite pas de source très précise (référence trouvée ici: https://www.math.upenn.edu/~wilf/Downld.html page 192)
Mais il faut se rappeler qu'Euler s'est intéressé à ce qui est connu aujourd'hui comme la fonction $\Gamma$. Ce qui rend très crédible cette référence.

gnegne · January 2017

Super !! Merci beaucoup !!
Bon bah, encore une fois je ne parviens pas à trouver quelque chose de nouveau. Le théorème de gnegne n'est pas prêt d'exister. (:P)

Fin de partie · January 2017

Le livre que j'ai mis en lien ci-dessus fait un panorama de méthodes d'analyse combinatoire.
On dispose d'outils pour calculer systématiquement des trucs incroyables.
Le "creative telescoping" et méthodes connexes sont d'une incroyable puissance pour calculer des trucs invraisemblables.

Chaurien · January 2017

Bravo pour avoir retrouvé le fil présentant ce calcul, moi j'ai beaucoup de mal à y arriver. J'avais proposé une démonstration simple de la formule en question, et même d'une généralisation, mais apparemment ça n'a pas plu...

Je veux bien croire qu'elle était connue d'Euler, c'est tout-à-fait le genre, mais j'aimerais connaître la référence précise.

Maintenant s'il s'agit des formules $\displaystyle S_{p}(n)=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}k^{p}$, comme : $ \displaystyle S_{1}(n)=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}k=\frac{1}{2}n(n+1)$, $ \displaystyle S_{2}(n)=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$, $ \displaystyle S_{3}(n)=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}k^{3}=(\frac{1}{2}n(n+1))^{2}$, et ainsi de suite, c'est plutôt du côté des nombres & polynômes de Bernoulli qu'il faut chercher
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
14/01/2017
--corrigé sur indication de Poirot infra

gilles benson · January 2017

en fait ce truc n'est qu'un cas particulier des relations pour les nombres de Stirling (en direction des surjections).

Fin de partie · January 2017

Chaurien a écrit:

J'avais proposé une démonstration simple de la formule en question, et même d'une généralisation, mais apparemment ça n'a pas plu...

Les goûts et les couleurs...

Tu peux rechercher dans les messages postés par quelqu'un. Tu cliques sur son pseudonyme et tu peux faire cette recherche.
Je me souvenais que Jandri avait participé à ce fil de messages et qu'il poste peu. Très facile dès lors de retrouver ce fil. :-)

jandri · January 2017

Oui mais cette méthode de recherche ne concernera pas beaucoup de questions !

gnegne · January 2017

Merci Chaurien !!
Ça fait plaisir de voir qu'il y en a au moins qui est enthousiasmé par ma formule. Ça faisait longtemps que je concoctais ca.

Et pour Stirling, pouvez vous expliciter ??

Merci !!

Fin de partie · January 2017

Gnegne:

Wikipedia recèle des trésors d'informations sur les mathématiques. C'est souvent un outil pour s'informer très utile.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Stirling