$n\mapsto n\phi(n)$ injective
dans Arithmétique
Bonjour,
tout est dans le titre.
Cordialement, Yvette
tout est dans le titre.
Cordialement, Yvette
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
$\gamma$ est la fonction "radical"
Tout $(m,n)\in \N^{*2}$ se réécrit $(a_mb_m,a_nb_n)$ avec $\gamma(a_m)=\gamma(a_n)=\gamma(m\wedge n)$ et $a_m\wedge b_m= a_n\wedge b_n=b_m\wedge n=b_n\wedge m=1$.
D'autre part, pour tout $k\in N^*$, $\displaystyle{\phi(k)=\frac{k\phi(\gamma(k))}{\gamma(k)} }$.
Aussi,
si $(m,n)\in \N^{*2}$ et $m\phi(m)=n\phi(n)$, alors,
$a_mb_m\phi(a_m)\phi(b_m)=a_nb_n\phi(a_n)\phi(b_n)$, puis
$\displaystyle{ a_mb_m\frac{a_m\phi(\gamma(a_m))}{\gamma(a_m)} \phi(b_m)=a_nb_n\frac{a_n\phi(\gamma(a_n))}{\gamma(a_n)} \phi(b_n) }$, d'où, puisque $\gamma(a_m)=\gamma(a_n)$,
$\displaystyle{ a_mb_ma_m\phi(b_m)=a_nb_na_n\phi(b_n) }$.
$b_m$ étant étranger à $b_n$ et $a_n$, il divise $\phi(b_n)$, donc est inférieur à $\phi(b_n)$, a fortiori à $b_n$.
Symétriquement $b_n$ est inférieur à $b_m$.
Donc $b_m=b_n$. Or ils sont étrangers, donc
$b_m=b_n=1$, d'où $\phi(b_m)=\phi(b_n)=1$, d'où
$a_m^2=a_n^2$ et, enfin
$m=n$
Cordialement
Paul
je ne connaissais pas
cette fonction radical et l'expression correspondante facile de $\phi(n)$.
Très élégant et rigoureux depasse (il faut juste corriger une coquille dans la quartième ligne
Yvette
En revanche, je ne suis pas fichu de voir la coquille: il arrive souvent qu'on soit prisonnier de sa propre production!
Merci de me la préciser. ;-)
Cordialement
Paul
Merci depasse
C'est $\gamma(n)$ qui est le produit des facteurs premiers de n (sans les exposants). $\phi(n)$ est le nombre d'étrangers à $n$ inférieurs à $n$.
Amicalement
Paul
de souvenir de mes années de grec, il n'y a que 2 lettres dédoublées (selon qu'elles débutent le mot ou sont à l'intérieur) et qui sont $\beta$ et $\sigma$ ... en soi, le \phi du $\TeX$ n'est qu'une version réduite de la majuscule mais n'existe pas en tant que tel dans l'écriture grecque ...
Merci
Paul
J'arrive un peu après la bataille, j'ai vu cet exercice de loin avant de m'y intéresser.
C'est troublant cette injectivité. L'argument de dépasse est très chouette et peut être étendu
pour montrer l'injectivité de la fonction $n\mapsto\varphi(n\gamma(n))=\gamma(n)\varphi(n)$,
qui a priori est un peu moins rapide que la précédente $n\mapsto\varphi(n^2)=n\varphi(n)$.
Cordialement,
Le p'tit bonhomme
(selon qu'elles débutent le mot ou sont à l'intérieur) et qui sont $\beta$ et $\sigma$.
Euh, tu es sûr pour le sigma en début de mot ?
e.v.
Amicalement
Paul
Cordialement, j__j