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Résultat général sur les suites d'entiers

Envoyé par pourexemple 
Résultat général sur les suites d'entiers
il y a deux années
avatar
Bonjour,

Soit $(u_n)_{n\in \N^*}$ une suite d'entier naturel non nul, tel que :
$$\forall n\in\N^*, |u_{n}-u_{n+1}|\leq \frac{u_{n}u_{n+1}}{(n+1)^2}$$
A-t-on $u_n$ bornée ssi $\exists n\in \N^*,u_n=n$ ?

Bonne journée.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Résultat général sur les suites d'entiers
il y a deux années
avatar
Bonjour,

Non.
Re: Résultat général sur les suites d'entiers
il y a deux années
avatar
Possible, aurais-tu un contre-exemple ? un oubli de ma part



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Résultat général sur les suites d'entiers
il y a deux années
Bonjour,

1.- Si $u$ admet un point fixe elle est bornée:

a.-On montre déjà que

Pour tout $n\in N^*$, si $u_n\leq n$, alors $u_{n+1}=u_n$:

Supposons qu'existe $n\in N^*$ tel que $u_n\leq n$ et $u_{n+1}\neq u_n$ i.e. $\delta_n:=u_{n+1}-u_n\neq 0$. Alors
$\displaystyle{1\leq \mid\delta_n\mid\leq\frac{u_n(u_n+\delta_n)}{(n+1)^2}\leq\frac{n(n+\delta_n)}{(n+1)^2}}$ <$\displaystyle{ \frac{n(n+\delta_n)}{n(n+1)}=\frac{n+\delta_n}{n+1}}$, d'où:
$\displaystyle{1\leq \mid\delta_n\mid}$ <$\displaystyle{ \frac{n+\delta_n}{n+1}}$, d'où
$\delta_n>1$ (à cause des membres extrêmes), d'où $\mid\delta_n\mid=\delta_n$ puis
$\displaystyle{\delta_n}$ <$\displaystyle{ \frac{n+\delta_n}{n+1}}$, d'où
$\delta_n<1$.

Contradiction.

b.-Soit $n\in N^*$ un point fixe de $u$. On a $u_n=n$.
Grâce au a.- une récurrence immédiate prouve que $u$ est constante à partir du rang $n$. Elle est donc bornée.

2.- Si $u$ est bornée, elle admet un point fixe:

Soit $a$ la plus grande valeur de $u$. Alors, pour tout $n\geq a$,
$\displaystyle{\mid u_n-u_{n+1}\mid\leq\frac{u_nu_{n+1}} {(n+1)^2}\leq\frac{a^2} {(n+1)^2}\leq\frac{a^2} {(a+1)^2}}$ < $1$.
Par transitivité de l'égalité $u$ est constante à partir du rang $a$.
Soit $r$ le plus petit rang à partir duquel $u$ est constante.
Si $r=1$, la suite est constante et admet donc un point fixe.

Désormais $r\geq 2$ et donc $u_{r-1} $ est bien défini.

a.-On montre déjà que

$r\leq u_a$:

Supposons que $r>u_a$. On a aussi, par définition de $r$, $u_{r-1}\neq u_a$ et $u_r=u_a$, si bien que $u_r<r$ et $1\leq \mid u_{r-1}-u_r\mid$. Donc:
$\displaystyle{1\leq \mid u_{r-1}-u_r\mid\leq \frac{u_{r-1}u_r}{r^2}}$< $\displaystyle{\frac{u_{r-1}u_r}{ru_r}=\frac{u_{r-1}}{r}}$. S'en suit que
$u_{r-1}>r$ tandis que $u_r<r$; aussi,
$\mid u_{r-1}-u_r\mid=u_{r-1}-u_r$ si bien que
$\displaystyle{1\leq u_{r-1}-u_r\leq \frac{u_{r-1}u_r}{r^2}}$, d'où
$u_{r-1}(r^2-u_r)\leq r^2u_r$; Or $r<u_{r-1}$ d'où
$r(r^2-u_r)<r^2u_r$,
$r^2-u_r<ru_r$,
$r^2<u_r(r+1)$. Or $u_r<r $ (i.e. $u_r\leq r-1$) d'où
$r^2<(r-1)(r+1)$.
Absurde

b.-$u$ vaut toujours $u_a$ à partir du rang $r$ qui est inférieur à $u_a$. Donc $u$ vaut $u_a$ en $u_a$

Ouf

Cordialement
Paul
Re: Résultat général sur les suites d'entiers
il y a deux années
avatar
Bonsoir,

@Depasse : cela m'a l'air pas mal, mais si tu pouvais me dire les idées intuitives derrières ta preuve cela me ferait gagner du temps (pour comprendre ta preuve), étant bien entendu que si tu m'aides à comprendre ta preuve je répondrais également (de mon mieux) à toutes tes questions.

Merci.

Bonne soirée.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Résultat général sur les suites d'entiers
il y a deux années
« Cela me ferait gagner », comme « cela me ferait voir » et non « cela me ferait vu ». C'est logique.
.
Re: Résultat général sur les suites d'entiers
il y a deux années
avatar
Aller, je donne l'astuce de ma preuve (elle peut-être utile pour d'autre cas de figure).

Je me sert d'un théorème de point fixe :

si $f$ fonction de $K,d$ compacte métrique, tel que $\forall x\neq y \in K,d(f(x),f(y))<d(x,y)$, alors $f$ admet un unique point fixe.

Comment on fait pour munir $\N^* \cup \{\infty\}$ de la bonne métrique, on identifie $\N^*$ à $\{\frac{1}{n}|n\in \N^*\}$ et $\infty$ à 0.
Alors $\{\frac{1}{n}|n\in \N^*\} \cup \{0\}$ est compact.

On a avec les conditions imposées par l'énoncés $|\frac{1}{u_{n+1}}-\frac{1}{u_n}|\leq \frac{1}{(n+1)^2}<\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

édit : Il faut noter qu'avec la condition : $$|\frac{1}{u_{n+1}}-\frac{1}{u_n}|\leq \frac{1}{(n+1)^2}$$ on peut affirmer que $\frac{1}{u_n}$ converge.

Le télescopage permet de montrer que pour tout $n< k\in \N^* \cup \{\infty\}$, $$|\frac{1}{u_{k}}-\frac{1}{u_n}|<\frac{1}{n}-\frac{1}{k}$$

En utilisant le théorème de point fixe on obtient le résultat.

Si vous avez des questions, n'hésitez pas.

Bonne soirée.



Edité 5 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Résultat général sur les suites d'entiers
il y a deux années
@pourexemple

Salut,

L'idée, dans les deux cas, est de montrer que la suite est constante à partir d'un certain rang (ultimement constante comme on dit ou disait ?).

Dans le cas où elle est supposée admettre un point fixe $n$ je montre qu'elle est constante à partir de $n$ et qu'elle est donc bornée;
dans le cas où elle est supposée bornée, je montre qu'elle est constante à partir de (voire avant) $u_a$ (où $a$ est le plus grand élément de $u(N^*)$) et qu'elle admet donc un point fixe.

Cordialement
Paul
Re: Résultat général sur les suites d'entiers
il y a deux années
avatar
Salut Depasse,

Merci.

Le chemin que j'ai emprunté est-il déjà connu ?

Bonne soirée.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Résultat général sur les suites d'entiers
il y a deux années
avatar
Bonjour @depasse,

La définition que tu cherches est "suite stationnaire". Une suite est dite stationnaire si elle est constante à partir d'un certain rang.
Re: Résultat général sur les suites d'entiers
il y a deux années
avatar
@Depasse : Bravo.

J'avais oublié le traditionnel bravo, cela fait du bien des fois, des encouragements (surtout que cette énoncé est un des plus durs de ceux que je propose).



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Résultat général sur les suites d'entiers
il y a deux années
Merci YvesM! j'ai un peu la honte!

Pourexemple, je manque totalement de culture pour répondre à ta question "Le chemin que j'ai emprunté est-il déjà connu ? ".
Moins modestement, je préfère ma preuve (si elle est correcte) car un élève de terminale peut la comprendre.cool smiley

Edit: Oups messages croisés! Pardon dès lors pour mon auto-congratulation



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par depasse.
Re: Résultat général sur les suites d'entiers
il y a deux années
Salut pourexemple, pour une fois, je reconnais que c'est joli. Malheureusement c'est trop astucieux pour que je considère ça comme un exo.
Re: Résultat général sur les suites d'entiers
il y a deux années
avatar
Salut à tous,

Citation Poirot :
Malheureusement c'est trop astucieux pour que je considère ça comme un exo.

Oui, on peut voir cela comme un résultat général, ou une méthode qui permet de munir $\N \cup \{\infty\}$ d'une métrique qui le rende compacte.

Bonne journée.
Re: Résultat général sur les suites d'entiers
il y a deux années
avatar
Citation Depasse :
dans le cas où elle est supposée bornée, je montre qu'elle est constante à partir de (voire avant) $u_a$ (où $a$ est le plus grand élément de $u(\N^*)$) et qu'elle admet donc un point fixe.

Cela ne semble pas marcher dans le cas $u_1=3,u_2=5,u_3=4,u_4=4,...$ c'est suite vérifie l'inégalité de l'énoncé (me semble-t-il), elle est constante à partir de $3 \text{ ou } 4$ et le $\sup\{u_n|n\in\N\}=5$, le point fixe ici n'est pas en 5 (en a),

on a bien $u_5=4$, et $u_4=4$.

Bonne journée.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
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