Résultat général sur les suites d'entiers

Bonjour,

Non.

Bonjour,

1.- Si $u$ admet un point fixe elle est bornée:

a.-On montre déjà que

Pour tout $n\in N^*$, si $u_n\leq n$, alors $u_{n+1}=u_n$:

Supposons qu'existe $n\in N^*$ tel que $u_n\leq n$ et $u_{n+1}\neq u_n$ i.e. $\delta_n:=u_{n+1}-u_n\neq 0$. Alors
$\displaystyle{1\leq \mid\delta_n\mid\leq\frac{u_n(u_n+\delta_n)}{(n+1)^2}\leq\frac{n(n+\delta_n)}{(n+1)^2}}$ <$\displaystyle{ \frac{n(n+\delta_n)}{n(n+1)}=\frac{n+\delta_n}{n+1}}$, d'où:
$\displaystyle{1\leq \mid\delta_n\mid}$ <$\displaystyle{ \frac{n+\delta_n}{n+1}}$, d'où
$\delta_n>1$ (à cause des membres extrêmes), d'où $\mid\delta_n\mid=\delta_n$ puis
$\displaystyle{\delta_n}$ <$\displaystyle{ \frac{n+\delta_n}{n+1}}$, d'où
$\delta_n<1$.

Contradiction.

b.-Soit $n\in N^*$ un point fixe de $u$. On a $u_n=n$.
Grâce au a.- une récurrence immédiate prouve que $u$ est constante à partir du rang $n$. Elle est donc bornée.

2.- Si $u$ est bornée, elle admet un point fixe:

Soit $a$ la plus grande valeur de $u$. Alors, pour tout $n\geq a$,
$\displaystyle{\mid u_n-u_{n+1}\mid\leq\frac{u_nu_{n+1}} {(n+1)^2}\leq\frac{a^2} {(n+1)^2}\leq\frac{a^2} {(a+1)^2}}$ < $1$.
Par transitivité de l'égalité $u$ est constante à partir du rang $a$.
Soit $r$ le plus petit rang à partir duquel $u$ est constante.
Si $r=1$, la suite est constante et admet donc un point fixe.

Désormais $r\geq 2$ et donc $u_{r-1} $ est bien défini.

a.-On montre déjà que

$r\leq u_a$:

Supposons que $r>u_a$. On a aussi, par définition de $r$, $u_{r-1}\neq u_a$ et $u_r=u_a$, si bien que $u_r<r$ et $1\leq \mid u_{r-1}-u_r\mid$. Donc:
$\displaystyle{1\leq \mid u_{r-1}-u_r\mid\leq \frac{u_{r-1}u_r}{r^2}}$< $\displaystyle{\frac{u_{r-1}u_r}{ru_r}=\frac{u_{r-1}}{r}}$. S'en suit que
$u_{r-1}>r$ tandis que $u_r<r$; aussi,
$\mid u_{r-1}-u_r\mid=u_{r-1}-u_r$ si bien que
$\displaystyle{1\leq u_{r-1}-u_r\leq \frac{u_{r-1}u_r}{r^2}}$, d'où
$u_{r-1}(r^2-u_r)\leq r^2u_r$; Or $r<u_{r-1}$ d'où
$r(r^2-u_r)<r^2u_r$,
$r^2-u_r<ru_r$,
$r^2<u_r(r+1)$. Or $u_r<r $ (i.e. $u_r\leq r-1$) d'où
$r^2<(r-1)(r+1)$.
Absurde

b.-$u$ vaut toujours $u_a$ à partir du rang $r$ qui est inférieur à $u_a$. Donc $u$ vaut $u_a$ en $u_a$

Ouf

Cordialement
Paul

« Cela me ferait gagner », comme « cela me ferait voir » et non « cela me ferait vu ». C'est logique.
.

@pourexemple

Salut,

L'idée, dans les deux cas, est de montrer que la suite est constante à partir d'un certain rang (ultimement constante comme on dit ou disait ?).

Dans le cas où elle est supposée admettre un point fixe $n$ je montre qu'elle est constante à partir de $n$ et qu'elle est donc bornée;
dans le cas où elle est supposée bornée, je montre qu'elle est constante à partir de (voire avant) $u_a$ (où $a$ est le plus grand élément de $u(N^*)$) et qu'elle admet donc un point fixe.

Cordialement
Paul

Bonjour @depasse,

La définition que tu cherches est "suite stationnaire". Une suite est dite stationnaire si elle est constante à partir d'un certain rang.

Merci YvesM! j'ai un peu la honte!

Pourexemple, je manque totalement de culture pour répondre à ta question "Le chemin que j'ai emprunté est-il déjà connu ? ".
Moins modestement, je préfère ma preuve (si elle est correcte) car un élève de terminale peut la comprendre.B-)

Edit: Oups messages croisés! Pardon dès lors pour mon auto-congratulation