Petit exercice avec $\zeta$
Bonjour,
La neige nous bloque (en tout cas ici chez moi), d'où ce (tout) petit exercice, plus simple qu'il n'en a l'air, pour passer le temps : montrer que, pour tout $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$
$$\left \lfloor \left( \sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k^2} \right)^{-1} \right \rfloor + 1 = n$$
où, comme d'habitude, $\lfloor x \rfloor$ désigne la partie entière inférieure du réel $x$.
La neige nous bloque (en tout cas ici chez moi), d'où ce (tout) petit exercice, plus simple qu'il n'en a l'air, pour passer le temps : montrer que, pour tout $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$
$$\left \lfloor \left( \sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k^2} \right)^{-1} \right \rfloor + 1 = n$$
où, comme d'habitude, $\lfloor x \rfloor$ désigne la partie entière inférieure du réel $x$.
Réponses
-
$$\dfrac{1}{k(k+1)}<\dfrac{1}{k^2}<\dfrac{1}{k(k-1)}$$
À cause de toi je vais arriver en retard au lycée. :-D -
On compare $$\sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$$ à une intégrale : Pour $n \in \mathbb N, n \geq 2$, $$\int_{n}^{+\infty} \frac{dt}{t^2} < \sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{k^2} \leq \int_{n-1}^{+\infty} \frac{dt}{t^2}$$ (tout est intégrable comme il faut bien sûr) en utilisant le fait que $$ \int_{n}^{n+1} \frac{dt}{t^2} < \frac{1}{n^2} \leq \int_{n-1}^{n} \frac{dt}{t^2}.
$$ On trouve donc $$\frac{1}{n} < \sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{n-1}.$$ En passant à l'inverse on trouve $$n-1 \leq \left(\sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{k^2}\right)^{-1} < n,$$ ce qui nous donne exactement ce qu'on veut. -
Bravo Hébus, Poirot reprend ton astuce sans l'expliciter.
-
Bravo et merci pour vos contributions.
-
@pourexemple : je ne reprends aucune astuce. Nous avons proposé deux méthodes différentes, qui reviennent au même encadrement certes.
-
@Poirot : oui pardon, j'ai oublié que $$\int_n^{+\infty} \frac{1}{x^2}\text{d}x=\frac{1}{n}$$
Désolé.
Bonne journée. -
Mot clef : série télescopique.
$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\int_k^{k+1}\frac{1}{x^2}\text{d}x$$
Pour approfondir le sujet sans avoir à lire une thèse de 300 pages à laquelle de toute façon on ne comprendra rien, c'est là : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1198849,1383166#msg-1383166 -
Ajoutons celle-ci (pas à résoudre, c'est du même genre, mais plus long) :
$$\left \lfloor \left ( \sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k^3} \right)^{-1} \right \rfloor = 2n(n-1).$$ -
une piste :
$$\frac{1}{2k(k+1)}-\frac{1}{2(k+1)(k+2)}=\frac{1}{k(k+1)(k+2)}<\frac{1}{k^3} < \frac{1}{k(k^2-1)}=\frac{1}{(k-1)k(k+1)}=\frac{1}{2(k-1)k}-\frac{1}{2k(k+1)}$$
On obtient alors : $$ 2(n+1)n > R > 2n(n-1) $$
Vive l'apprentissage... :-D -
Oui, c'est l'idée, il faut juste des encadrements un petit peu plus précis.
-
Je pense avoir trouvé pour la deuxième inégalité :
$$\frac{1}{2k(k-1)+1}-\frac{1}{2k(k+1)+1}=\frac{1}{k^3+\frac{1}{4k}}<\frac{1}{k^3}$$
d'où $$2n(n-1)+1>R>2n(n-1)$$
JQCF (J'espère Que C'est la Fin).
@Noix de Totos : c'est à peine plus long, ou avais-tu une autre solution en tête ? -
Non, c'est ça grosso modo.
-
@Noix de Totos : Je me permets de t'en proposer un également, par ailleurs il est à peine plus long que le dernier exos que tu as proposés.
Soit $P,Q\in \Z[X]$, $P(X)=a_0+...+a_nX^n$, $Q(X)=b_0+...+b_nX^n$ (avec des coefficients non tous nuls), $m\in\Z$ tel que $\forall i\in\{0,...,n\} |m|\geq 2max(|a_i|,|b_i|)+1$.
Montrer que $P(m)=Q(m)$ alors $P=Q$. -
Je le fais avec $n \geqslant 1$, $a_n \neq b_n$ et $\displaystyle |m| > 2 \max_{0 \leqslant k \leqslant n-1} \left( |a_k|,|b_k| \right) + 1$.
Supposons $P \neq Q$. En utilisant un critère bien connu, le polynôme $P-Q$ a toutes ses racines $\alpha_k$ vérifiant
$$\left | \alpha_k \right | \leqslant 1 + \max_{0 \leqslant k \leqslant n-1} \frac{|a_k - b_k|}{|a_n - b_n|} \leqslant 1 + \max_{0 \leqslant k \leqslant n-1} |a_k - b_k| \leqslant 1 + 2 \max_{0 \leqslant k \leqslant n-1} \left( |a_k|,|b_k| \right)$$
ce qui contredit l'hypothèse. -
@Noix de Totos : il te manque le cas $m=2\max(...)+1$
PS : Peux-tu énoncer clairement le critère bien connu ?
j'ai trouvé ici (p 5) : http://iml.univ-mrs.fr/~ritzenth/agregation/cours-polynomes2.pdf
Merci. -
J'ai dit que je ne faisais que le cas $|m| > \dotsc$ pour des raisons de simplification, mais il suffit de prendre un résultat de localisation des racines un peu plus fort que celui-ci pour intégrer le cas d'égalité.
Le théorème de localisation utilisé ici est le suivant : si $P = a_n X^n + \dotsb + a_0 \in \mathbb{R}[X]$ avec $n \geqslant 1$ et $a_n \neq 0$, alors toutes les racines $\alpha_j$ de $P$ vérifient
$$|\alpha_j| \leqslant 1 + \max_{0 \leqslant k \leqslant n-1} \left | \frac{a_k}{a_n} \right |.$$ -
Citation Noix de Totos :
mais il suffit de prendre un résultat de localisation des racines un peu plus fort que celui-ci pour intégrer le cas d'égalité.
Peut-être, lequel utiliserais-tu alors ?
Je me permets de dire que la solution, que je pense avoir, n'utilise pas ce genre de critère, d'où ma curiosité.
PS : ok, dans le poly c'est avec une inégalité stricte. -
Apparemment, pourexemple ne s'est toujours pas aperçu que c'est la réponse que j'avais déjà apporté à sa question ici.
-
Il n'y a que chez les kabbalistes et autres gnostiques (sauf négociation), chez qui on répond à une question par une question.
PS : je ne suis pas logique, c'est-à-dire que je ne crois pas en la capacité du raisonnement à décrire tous les possibles. -
Quelle question ai-je posée ? Je ne vois que des affirmations. Tu n'as pas été capable de comprendre le raisonnement - pourtant simple. Peut-être fais-tu un blocage sur ce que j'écris ? (:D
-
Citation :
Peut-être fais-tu un blocage sur ce que j'écris ?
C'est possible. -
@GaBuZoMeu : je ne savais pas que tu avais déjà résolu cet exercice. Je me demande à quoi joue Pourexemple ? En tout cas, j'arrête là mes contributions sur cet exemple précis.
-
@Noix de Totos : il me semble que personne n'avait répondu à l'énoncé quand je te l'ai proposé, mais je n'en suis pas sûr, ce qui est sûr preuve à l'appuie, je te l'ai proposé il y a 6 heures, et elle a commencé, à expliciter sa preuve, il y a 5 heures...
Voilà la solution à laquelle j'ai pensée : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1378296,1378494#msg-1378494
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres