$\cos 2\pi/n$ et $\sin 2\pi/n$ rationnels ?
dans Arithmétique
Bonjour,
Est-ce que pour certaines valeurs paires de $n$ strictement plus grandes que $4$, on peut avoir $\cos \frac{2\pi}{n}$ et $\sin \frac{2\pi}{n}$ rationnels (en même temps) ?
Je crois avoir montré que c'était impossible pour $n$ impair, grâce au coloriage d'une grille (constituée de petits carrés) avec deux couleurs, telle que deux points de la grille qui se trouvent à une distance $d$ fixée à l'avance sont toujours de couleurs différentes. Est-ce que vous vous avez des références sur cette méthode ?
Merci d'avance.
Est-ce que pour certaines valeurs paires de $n$ strictement plus grandes que $4$, on peut avoir $\cos \frac{2\pi}{n}$ et $\sin \frac{2\pi}{n}$ rationnels (en même temps) ?
Je crois avoir montré que c'était impossible pour $n$ impair, grâce au coloriage d'une grille (constituée de petits carrés) avec deux couleurs, telle que deux points de la grille qui se trouvent à une distance $d$ fixée à l'avance sont toujours de couleurs différentes. Est-ce que vous vous avez des références sur cette méthode ?
Merci d'avance.
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Réponses
Donc pour ton problème ça ne laisse que le cas $n=6$ de possible, et comme $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt 3}{2} \not \in \mathbb Q$...
Donc $2 \Re (z) \in \Z$. Donc $\Re(z)=-1, -1/2,0,1/2$, ou $1$. Comme $\Im(z) \in \Q$, $z\in \{1,-1,i,-i\}$.
Un réseau plan est l'ensemble $R$ des points du plan dont les coordonnées dans un repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (orthogonal ou non) sont des entiers relatifs. Quels sont les polygones réguliers dont tous les sommets sont situés sur un réseau ?
On utilisera seulement la propriété : si trois sommets d'un parallélogramme sont sur un réseau, alors le quatrième y est aussi.
Soit un polygone régulier $A_{1}A_{2}...A_{n}$, $n\geq 3$, de côté $c>0$, ayant ses sommets sur un réseau $R$. On construit les points $B_{1},B_{2}...,B_{n}$ tels que : $\overrightarrow{OB_{1}}=\overrightarrow{A_{1}A_{2}}$, $\overrightarrow{OB_{2}}=\overrightarrow{A_{2}A_{3}}$, ... , $\overrightarrow{OB_{n-1}}=\overrightarrow{A_{n-1}A_{n}}$, $\overrightarrow{OB_{n}}=\overrightarrow{A_{n}A_{1}}$. Ces points $B_{1},B_{2}...,B_{n}$ sont tous sur le réseau $R$, et ils sont les sommets d'un polygone régulier de côté $c^{\prime }=2c\sin \frac{\pi }{n}$. Si $n \geq 7$, alors $c^{\prime }<c$, et il existe donc sur le réseau un polygone régulier de côté strictement inférieur. Impossible car la distance de deux points distincts d'un réseau a un minimum.
Reste le cas du pentagone. Voir la figure. Si les sommets $A,B,C,D,E$ sont sur le réseau, alors les points $F,G,H,I,J$ y sont aussi, et ils sont les sommets d'un pentagone régulier de côté strictement inférieur au précédent, et le même raisonnement s'applique.
Les seuls polygones réguliers qui restent sont le triangle équilatéral le carré et l'hexagone régulier, et réellement ils le sont, comme on dit au début du film « Titanic ». Cette figure et ce raisonnement sont extraits du Petit Archimède n° 75-76, mai-juin 1981, qui traita de cette question.
Par ailleurs la mise en équation de cette question conduit à l'équation diophantienne $\cos r \pi=s$ dans $ \mathbb Q$, et le raisonnement précédent fournit la solution de cette équation.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Ta démonstration m'a l'air très bien. J'en connais deux autres :
- Une avec la théorie des extensions de corps (Si $a$ est une racine de l'unité dans $\Q(i)$, alors $\Q(a)/\Q$ est de degré $2$, ce qui ne laisse plus beaucoup de choix pour le polynôme minimal de $a$).
- Une preuve où on étudie les suites des parties réelles et des parties imaginaires des puissances (Lien ).