$\cos 2\pi/n$ et $\sin 2\pi/n$ rationnels ?

Oui c'est bien celui-là, c'est un corollaire du fait que si $\frac{p}{q}$ ($p,q$ premiers entre eux) est racine de $a_nX^n + \dots + a_1X+a_0$ alors $p \mid a_0$ et $q \mid a_n$.

On peut aussi montrer que les racines de l'unité dans $\mathbb{Q}(i)$ sont exactement les racines 4ème de l'unité.

Il y a une jolie démonstration géométrique.
Un réseau plan est l'ensemble $R$ des points du plan dont les coordonnées dans un repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (orthogonal ou non) sont des entiers relatifs. Quels sont les polygones réguliers dont tous les sommets sont situés sur un réseau ?
On utilisera seulement la propriété : si trois sommets d'un parallélogramme sont sur un réseau, alors le quatrième y est aussi.
Soit un polygone régulier $A_{1}A_{2}...A_{n}$, $n\geq 3$, de côté $c>0$, ayant ses sommets sur un réseau $R$. On construit les points $B_{1},B_{2}...,B_{n}$ tels que : $\overrightarrow{OB_{1}}=\overrightarrow{A_{1}A_{2}}$, $\overrightarrow{OB_{2}}=\overrightarrow{A_{2}A_{3}}$, ... , $\overrightarrow{OB_{n-1}}=\overrightarrow{A_{n-1}A_{n}}$, $\overrightarrow{OB_{n}}=\overrightarrow{A_{n}A_{1}}$. Ces points $B_{1},B_{2}...,B_{n}$ sont tous sur le réseau $R$, et ils sont les sommets d'un polygone régulier de côté $c^{\prime }=2c\sin \frac{\pi }{n}$. Si $n \geq 7$, alors $c^{\prime }<c$, et il existe donc sur le réseau un polygone régulier de côté strictement inférieur. Impossible car la distance de deux points distincts d'un réseau a un minimum.
Reste le cas du pentagone. Voir la figure. Si les sommets $A,B,C,D,E$ sont sur le réseau, alors les points $F,G,H,I,J$ y sont aussi, et ils sont les sommets d'un pentagone régulier de côté strictement inférieur au précédent, et le même raisonnement s'applique.
Les seuls polygones réguliers qui restent sont le triangle équilatéral le carré et l'hexagone régulier, et réellement ils le sont, comme on dit au début du film « Titanic ». Cette figure et ce raisonnement sont extraits du Petit Archimède n° 75-76, mai-juin 1981, qui traita de cette question.

Par ailleurs la mise en équation de cette question conduit à l'équation diophantienne $\cos r \pi=s$ dans $ \mathbb Q$, et le raisonnement précédent fournit la solution de cette équation.

Bonne journée.
Fr. Ch.

Pour tout $n \in \N$ le $n$-ième polynôme cyclotomique (noté $\Phi_n$ ci-après) est irréductible sur $\mathbb Z$, soit $\omega$ une de ses racines (i.e. une racine $n$-ième primitive de l'unité). Si $\omega \in \Q [ i ] $ alors $\big [\Q[\omega]:\Q \big ] \leq 2$ donc $\Phi_n$ possède un facteur de degré au plus $2$ et donc : $\deg(\Phi_n)=\varphi(n)\leq 2$ (indicatrice d'Euler). Les seules possibilités pour ça sont $n \in \{1,2,3,4,6\}$. On en déduit la liste exhaustive des solutions au problème. Certes il n'est pas évident de montrer que $\Phi_n$ est irréductible.