Formule donnant beaucoup de nombres premiers.

fredrick · February 2017

Bonjour,

En cherchant j'ai trouvé la formule suivante, elle donne une suite de 168 nombres premiers avec 63 différents :

$a(n) = (2097203 \mod n)^2+(2097203 \mod n)+41$

Elle est basé sur le polynôme d'Euler donnant une suite de 40 nombres premiers (n²+n+41).

J'ai fait un programme cherchant beaucoup de formule de cette forme, mais seul le +41 à la fin permet de trouver des formules intéressantes, par exemple celle-ci dessous:

$a(n) = (1459755 \mod n)^2+(1459755 \mod n)+41$

Mon pc est encore en train de tourner pour en chercher des meilleures.

fredrick · February 2017

En fait il apparait que les polynômes donnant de nombreux nombres premiers, sont aussi très performants quand on les mets sous la forme modulaire comme dans mes exemples précédents.
Par exemple de polynôme $3x²+3x-324509$ (Dress et Olivier ) donnant 88 nombres premiers sur 100, donne aussi beaucoup de nombre premiers quand il est mis sous la forme :
$3*((n²+325099)\mod n)²+3*(n²+325099)\mod n)-324509$

fredrick · February 2017

$a(n)=(39534397\mod (n+1))^2+(39534397\mod (n+1))+41$

C'est la formule avec le meilleur résultat que j'ai, elle donne une suite de 195 nombres premiers avec 71 différents. J'ai remarqué que tous les nombres premiers de la formule d'Euler $x²+x+41$ apparaissaient dans ma formule, avec d'autres s'y ajoutant.

J'ai essayé de trouver une façon d'expliquer ces résultats mais je n'ai pas d'idées, qu'est-ce que vous en pensez ? est-ce qu'on peut espérer continuer à trouver des suites plus grandes en augmentant les recherches ou y a-t-il un plafond ?

Merci.

samurai · February 2017

je ne connais rien au sujet. D'où vient cette inspiration ?

fredrick · February 2017

Bonjour samurai,

Je t'invite à consulter le document suivant : Polynômes prenant des valeurs premières

fredrick · February 2017

Finalement j'ai trouvé le polynôme suivant :

$a(n)=(((364^n)+251287) \mod n)²+(364^n+251287) \mod n+41$

Il donne une suite de 172 nombres premiers pour n=1..172, avec 75 valeurs différentes. ci-dessous les valeurs en question :

[41, 43, 47, 53, 71, 97, 113, 61, 173, 151, 347, 281, 593, 743, 383, 641, 691, 1301, 251, 503, 1231, 911, 223, 2297, 2903, 461, 3121, 313, 1373, 3581, 4463, 1033, 1933, 797, 5153, 421, 6203, 2693, 1523, 2393, 5741, 2203, 1163, 4073, 3701, 547, 8971, 11597, 6361, 10753, 9161, 3947, 8597, 8783, 14321, 4597, 4201, 7013, 12473, 3823, 9941, 13151, 20063, 12923, 19501, 7351, 22993, 18947, 2591, 20347, 17333, 24847, 22391, 23603, 15791]

Si on prend les règles définies par Boston et Greenwood en 1995, selon vous est-ce qu'on peut dire que mon polynôme a battu le record établi par François Dress et Bernard Landreau en 2010 ?

LEG · February 2017

@Fredrick , il me semble qu'il parle de valeurs consécutives positives ..
si on prend le polynôme :
36x² +18x - 1801 on obtient 45 valeurs premières : avec X positif.de 1 à 45..

-1747
-1621
-1423
-1153
-811
-397
89
647
1277
1979
2753
3599
4517
5507
6569
7703
8909
10187
11537
..etc

fredrick · February 2017

Le mien a aussi des valeurs de $x$ positives, 1 à 172.

Et le fait que des mêmes valeurs apparaissent plusieurs fois ne posent pas de problème, comme dans l'exemple $3x^3+3x^2-402x+1597$ qui donne par exemple 3 fois la valeur 2389.

LEG · February 2017

Bien sur, mais Les Restes R de ton polynôme, ne sont pas consécutifs...d'où, je ne pense pas que cela soit valable d'après les critères requis...Car dans ton cas cela revient à augmenter et / ou , à diminuer la variable en passant par les congruences...:)o

fredrick · February 2017

Oui c'est vrai que je triche un peu en passant par les congrugences (mais c'était pas précisé dans les règles du jeu ;-)), cela dit dans la formule $3x^3+3x^2-402x+1597$ les valeurs ne sont pas consécutives non plus.
C'est pas grave, je les aurais un jour...(:P)

LEG · February 2017

@RE fredrick, tu peux d'ailleurs vérifier avec ton polynôme qu'il t'est impossible de remplacer ta formule par la fonction suivante:

N _{n+ 1} = 2*N_n + 2*Y - N_n-1....

si je prends le P (N) de Boston 1993..
$16x^2 + 10x - 547 = N_n$ je peux le remplacer par la fonction équivalente ci-dessus...

exemple pour $X = 7$ :

la raison $R = 2*Y = 2*16 = 32$
$N_ {n-1} = - 97$
$N_ n = 89 $

$N_{n+1} = 16*7^2 +10*7 - 547 = 307$ ou : $ 2*89 + 32 - (-97) = 307$

je peux en partant de ce polynôme, extraire des polynômes dans une famille de nombre premiers en progression arithmétique de raison $R = 30$. de premier terme P premier, avec la fonction suivante :

$R = 16*1800$ ;
$16*(x+30(k+1))^2 + 10*(x+30(k+1)) - 547 =$
$2*N_n + 28800 - N_{n-1}= N_{n+1}$

par exemple x = 6

$16x^2 +10x - 547 = 89$
$ N_n = 16 * (x+30k)^2 + 10 * (x+30k) - 547 = 20549$
$ N_{n+1} = 2*20549 + 28800 - 89 = 16 * 66^2 + 10 * 66 - 547 = 69809 $ $\equiv 29[30]$

voila de quoi t'amuser...
cordialement.

fredrick · February 2017

En fait il n'était pas nécessaire de faire une formule aussi "compliquée", en faisant simplement :

$a(n) = (10715279 \mod n)²+(10715279 \mod n)+41$

On obtient de très bon résultat, pas besoin de monter à la puissance $n$.

Le programme que j'ai fait pour rechercher ces polynômes utilise 2 variables $a$ et $b$ et test celle qui donnent beaucoup de nombres premiers.

$a(n) = (b \mod n)²+(b \mod n)+c$

J'obtiens toujours des résultats intéressant avec $c=41$.

LEG · February 2017

je suppose que 47,ou 53 te donnerait des résultats, en définitive tout dépend de ta variable de base ...et où cela tombe dans la répartition des nombres premiers...Par contre je ne sais pas si c'est vraiment utile de te casser la tête à extraire les reste R de la division de ta variable...
tu pourrais prendre des entiers par exemple 1 à 180 , les mélanger puis les tirer au Hasard ou de façon aléatoire.
.ex: 1 .7.2.8.10.3.11.9.27...etc chaque entier que tu prends, te donne des restes qui varient par rapport à n positif et consécutif...
Bonne continuation

donnet · March 2017

Bonjour à tous

Voici une belle formule qui donne de façon successive 87 nombres premiers pour les valeurs de X variant de 0 à 86.
Le dernier record était à moins de 60 avec des milliards de combinaisons Informatiques
R(X) = (83*X^2)/8 - (2558*X)/4 + 55185/8 - (-1)^X) * [(11*X^2)/8 - (938*X)/4 + 33161/8)]
$$ R(X) = \frac {83} 8 X^2 - \frac{2558}4 X + \frac{55185}8 - (-1)^X \Big( \frac{11}8X^2 - \frac{938}4 X + \frac{33161}8\Big)
$$ C'est une simple combinaison de deux trinômes du second degré .Il n'y a pas cependant d'avancées théoriques
pour parvenir à ce résultat, seulement l'application d'un simple truisme élémentaire.
La primalité des résultats a été vérifiée plusieurs fois.Vos commentaires positifs ou négatifs sont les bien venus
Si quelqu'un peut confirmer la validité de la formule ,je donnerais toutes les explications qui permettent de la construire.
Courtoisement.

[Traduite en $\LaTeX$ est-ce bien ta formule ? Car dans l'originale il y a une parenthèse fermante en trop ! AD]

jandri · March 2017

J'ai vérifié avec Maple, les 87 valeurs de $R(n)$ pour $n$ de 0 à 86 sont bien des nombres premiers.

donnet · March 2017

Bonsoir à tous

Merci AD d'avoir supprimé la parenthèse fermante qui était en trop.(Il va falloir que je me mette à Latex
Merci Jendri d'avoir confirmé .Ce record sera bien sûr éphémère.

Comme promis voici la méthode résumée qui a été utilisée pour combiner deux trinômes de RUBY donnant déjà de nombreux nombres premiers.
TRINOME P COMME PREMIER
P1(X)=36*X^2 - 810*X + 2753 (A050268)
et P2(X)=47*X^2 -1701*X +10181 (A050267)
qui donnent respectivement 45 et 43 nombres premiers successifs

La première opération est une opération d'espacement :TRINOME E COMME ESPACEMENT
E1(X)=P1(X/2) , E2(X)= P2(X/2)
Ces trinômes donnent les mêmes nombres premiers mais pour les valeurs paires de X. les valeurs de X impaires qui ne servent à rien seront
éliminées dans la dernière opération.

Il faut faire ensuite une opération de translation :TRINOME T COMME TRANSLATION
T2(X)= E2(X-1) pour que T2 ne donne les nombres premiers que sur les valeurs impaires de X.
T1(X) lui reste égal à P1(X).

Pour l'élimination des valeurs non premières il suffit d'utiliser le truisme
A=(A+B)/2 +( A-B)/2 qui éliminera les valeurs de B paires
B=(A+B)/2 - (A-B)/2 qui élimnera les valeurs de A impaires
ou T1(X) joue le rôle de A et T2(X) celui de B
Les deux formules fusionnent en une seule en introduisant (-1)^X qui va renvoyer sur l'une ou l'autre des deux formules A ou B
en fonction de la parité de X et en même temps éliminer le résultat artificiellement introduit lors de l'opération d'espacement.

et donne le résultat indiqué .Le détail tient en un Pdf de 7-8pages.
Il est possible de faire mieux en utilisant d'autres polynômes (Dress et Landreau par exemple)

Courtoisement

fredrick · March 2017

Effectivement c'est bien 87 nombres premiers, de plus tu bats aussi le record du 100 avec 96 nombres premiers pour x = 0...99, alors qu'auparavant le record était de 90/100.

Formule donnant beaucoup de nombres premiers.

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