Suite $n! \mod (n^2+n)+1$, nombres premiers

Si $n+1$ n'est pas un nombre premier alors $n+1$ a un diviseur inférieur à $n$ et donc divise $n!$ or, $n$ et $n+1$ sont premiers entre eux donc $n(n+1)$ divise $n!$.

Dans le cas où $n+1$ est premier.

Par ailleurs, si $p$ premier alors le théorème de Wilson affirme que $(p-1)!+1\equiv 0\mod{p}$

Si $n+1$ est premier cela signifie que $n!+1$ est divisible par $n+1$

Il existe donc $k$ entier tel que $n!+1=k(n+1)$


Par ailleurs, il existe $k'$ entier et $0 \leq r<n$ entier tels que:
$k=nk'+r$

Donc,
$n!+1=(nk'+r)(n+1)=n(k'(n+1)+r)+r$
$r$ est nécessairement égal à $1$ puisque $n!$ est divisible par $n$.

Donc,
$n!+1=k'n(n+1)+(n+1)$
Or, $0 \leq n+1<n(n+1)$
Donc le reste dans la division euclidienne de $n!+1$ par $n(n+1)$ est $n+1$, un nombre premier.

En espérant ne pas avoir écrit trop d'énormités.

Bonjour
Je vois que dans cette discussion l'on parle de nombres premiers et de factorielles .
Je ne réponds au problème de cette discussion mais je ne veux pas en créer une nouvelle de peur d' être banni .
Soit les nombres primaires définis par les nombres 1, 2 et les primorielles .
Les nombres primaires sont donc les nombres : 1 , 2 , 6 , 30 , 210 , 2310 etc ...
En partant du constat que les carrés des nombres premiers supérieurs ou égaux à 5 sont de la forme 12k+1
et que le nombre 49 = 30 + 18 + 1 , je pense pouvoir affirmer que tout nombre premier est une combinaison linéaire
de facteurs primaires et que toute combinaison linéaire de facteurs premiers est une combinaison linéaire de
facteurs primaires .
Toute combinaison linéaire de premiers et de primaires est aussi une combinaison de primaires .
La décomposition d'un entier en facteurs primaires décroissants est unique .
Les matrices de ces combinaisons linéaires contiennent tous les nombres premiers et leurs combinaisons linéaires .
Ces propriétés permettent de mettre en évidence certaines relations entre les nombres premiers .
Par exemple : 17 au carré = 24 x 12 + 1 = 288 + 1 = 210 + 2 x 30 + 18 + 1 = 210 + 30 + 7 au carré .
Par exemple : 3 au carré + 2 au carré = 13 . Et : 13 au carré = 169 = 168 + 1 = 120+30+18+1 = 120 + 7 au carré .
Ces propos ne contredisent pas mes propos antérieurs.
Merci de me contredire quand même .
lechevalierdenis@orange.fr

Je pense que Denisympa parle en fait de primorielle: le produit des premiers nombres premiers.

P(3)=6
P(4)=30
P(5)=210

Claude Quitté:

Ce n'est pas une coquille, l'erreur que tu pointes est bien plus grave.

En effet, comme tu le pointes, si $n+1=p^m$, $p$ un nombre premier et $m$ un entier naturel>1, je ne peux pas prétendre qu'on va retrouver $m$ fois le nombre $p$ dans la liste des entiers $1,2,...,n-1$ comme le laisse entendre la "preuve" que j'ai esquissée et que j'aurais été bien inspiré de développer. :-D

Il faut qu'on ait $mp\leq n$ pour adapter l'argument car de la sorte les $m$ nombres $p,2p,...,mp$ sont tous divisibles par $p$ , inférieurs ou égaux à $n$ et distincts.

Mais dans le cas contraire....

@Claude Quitté et Fin de partie
J'avais signalé dans mon message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1412130,1412342#msg-1412342 (qui suit le deuxième message de Fin de partie) que le seul cas qui pose problème est justement le cas $n=3$, mais dans ce cas $(n! \mod (n²+n))+1=7$ est bien un nombre premier.

Bonjour

Fin de partie tu abîmes mes primorielles ... lol
Je rectifie :
P(3) = 2 x 3 = 6
P(5) = 2 x 3 x 5 = 30
P(7) = 2 x 3 x 5 x 7 = 210 .

@ GaBuZoMeu
Merci pour tes précisions .