boucles
dans Arithmétique
Bonjour,
considérons le nombre 2017 et le triplet de nombres (2017, 1, 1).
A un triplet d'entiers relatifs (x, y, z) on fait correspondre le triplet (x - y - z , y , 2y + z ) si y + z < x ;
ou on lui fait correspondre le triplet (y + z - x , x , 2x - z) si y + z > x .
Partant de (2017, 1, 1) et en réitérant le processus, on finit par revenir au point de départ .
Combien de triplets différents contient la boucle qui part de (2017, 1, 1 ) et revient à (2017, 1, 1) ?
Bien cordialement.
kolotoko
considérons le nombre 2017 et le triplet de nombres (2017, 1, 1).
A un triplet d'entiers relatifs (x, y, z) on fait correspondre le triplet (x - y - z , y , 2y + z ) si y + z < x ;
ou on lui fait correspondre le triplet (y + z - x , x , 2x - z) si y + z > x .
Partant de (2017, 1, 1) et en réitérant le processus, on finit par revenir au point de départ .
Combien de triplets différents contient la boucle qui part de (2017, 1, 1 ) et revient à (2017, 1, 1) ?
Bien cordialement.
kolotoko
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Réponses
97, non ?
Bien cordialement.
kolotoko
Et $z= 17+19$
Autre exemple avec 71*72=5183 (je ne mets pas toute la liste) :
on s'est mal compris :
je n'ai pas écrit combien de triplets différents du premier triplet (96) contient la boucle, mais combien de triplet différents contient la boucle (97) .
Imaginons un autre exemple :
(7, 1, 1) donne (5, 1, 3) donne (1, 1, 5) donne (5, 1, -3) donne (7, 1, -1) donne (7, 1, 1, ) donne (5, 1, 3) donne ((1, 1, 5) etc.
Ici la boucle contient 5 triplets différents.
A remarquer que la longueur de la boucle (notée f(n) ) quand on part du triplet (n, 1, 1) semble bien imprévisible :
Par exemple :
f(2017) = 97, f(2018) = 142, f(2019) = 103, f(2020) = 383, f(2021) = 98, f(2022) = 773 etc (en espérant ne pas m'être trompé) .
Bien cordialement.
kolotoko
Est-ce qu'il y a un kolotokopyright ?
e.v.
Cela dit si je ne me trompe pas, ce programme donne le nombre de tour pour revenir à l'origine, mais pas le nombre de triplets différents.
si on part de certains triplets , la longueur de boucle est parfois très longue : par exemple, en partant de (756, 756, 653) on trouve 20683 .
Très mystérieux, tout ça .
Bien cordialement.
kolotoko
Du coup, si on revient à l'origine, c'est que tous les éléments de la boucle sont distincts.
Stator,
Si mon exemple $(2,1,1)$ n'est pas bon, alors
1)l'algorithme de bisam n'est pas bon,
2) l'exemple $(6,1,1)$ n'est pas bon.
Déterminer les $(x,y,z)$ de $N^3$ sur lesquels est définie toute itérée de la fonction définie par kolotoko sur $N^3$ privé des $(x,y,z)$ tels que $x=y+z$ me semble très difficile.
Supposons pourtant qu'on y parvienne et qu'on parvienne de plus à prouver que toute suite finit par boucler; il faudra encore montrer qu'elle boucle sur son premier terme et les seuls arguments de bornitude me semblent insuffisants.
Sauf etc...
Pratiquement, il me semble sage de considérer que kolotoko a fait un typo en oubliant le cas $x=y+z$ mais il faut attendre son avis!
Même ainsi simplifié, ça doit pas être de la tarte d'étudier la fonction "longueur du cycle"!
Cordialement
Paul
Edit
je me renie partiellement:
Si on prouve que le programme de bisam (basé sur $y+z<x$ ou $y+z$ $\geq$$x$) termine pour toute entrée, alors il termine en particulier pour toute entrée $(x,y,z)$ pour laquelle on ne passe jamais par le cas $y_n+z_n=x_n$. Bref il n'y a pas à se casser la tête pour trouver les "mauvais exemples". L'exemple $(7,1,1)$ de kolotoko est rassurant: il prouve qu'il n'y a pas que des mauvais exemples!
je me demande ce qu'il faut proposer pour le cas x = y + z.
Si vous avez une bonne idée, je suis preneur.
Bien cordialement.
kolotoko