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exponentielle entier naturel

Envoyé par Light* 
exponentielle entier naturel
l’an passé
Bonjour à toutes et à tous,

Je m'excuse d'avance si ce post a déjà été publié. Je pense que la proposition suivante est vraie, mais je n'en suis pas sûr et si c'était le cas, je voudrais connaître une démonstration.

Soient $n,m \in \mathbb{N}$. On a :
$$ e^n=m ~~ \Leftrightarrow ~~ n=0 $$

Merci de vos réponses !
Re: exponentielle entier naturel
l’an passé
avatar
La réciproque est clairement fausse car tu as fixé $m$ a priori ($e^0=m$ ne peut pas être vrai pour deux $m$ différents, en particulier ce n'est vrai que pour $m=1$).

J'imagine que ce que tu demandes c'est plutôt si :
$$n\in\mathbb{N}^* \Longrightarrow e^n \notin\mathbb{N}$$

La réponse est vraie dans ce cas, et on a même des résultats beaucoup plus forts, tels que : pour tout nombre algébrique $a$ non nul, $e^a$ est transcendant.

Je ne sais pas s'il y a une démonstration simple avec juste le cas des entiers que j'ai mentionné ci-dessus, je n'y ai pas réfléchi.



Edité 6 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par skyffer3.
Re: exponentielle entier naturel
l’an passé
Oui je suis bête, $e$ est transcendant... excusez-moi confused smiley
Re: exponentielle entier naturel
l’an passé
avatar
Oui mais démontrer la transcendance de $e$ n'est pas trivial non plus. Je me demandais justement s'il existe une démonstration directe puisque ce qu'on cherche à démontrer ici est plus faible.
Re: exponentielle entier naturel
l’an passé
J'ai une autre question, un peu plus analytique certes.

Lorsque j'obtiens une égalité du type :
$$ n=\frac{log(a)}{log(b)} $$

où $n,a$ et $b$ dont trois entiers naturels (ou pas même). Le membre de droite ne dépend pas du $log$ choisi, que ce soit $log_2, log_{10}$ ou même $ln$. Mais si je passe $log(b)$ de l'autre côté : $ nlog(b)=log(a) $
Alors ce n'est plus la même chose car je peux avoir :
$$ 10^nb=a ~~~~ 2^nb=a ~~~~ e^nb=a... $$
Et je ne vois pas comment résoudre ce problème. Pouvez-vous m'expliquer svp?
Re: exponentielle entier naturel
l’an passé
Ton problème c'est que $\exp(n \log(b))$ ne fait pas $\mathrm{e}^nb$ mais $b^n$...
Re: exponentielle entier naturel
l’an passé
Mais bien sûr... quel amateur...

Merci en tout cas et skyffer3, pour une démonstration autre que la transcendance de $e$ je suis prenant ;)
Re: exponentielle entier naturel
l’an passé
Je pense qu'une astuce comme pour prouver élémentairement que $e$ est irrationnel devrait fonctionner.
On écrit $e^n =\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{n^k}{k!}$, et on suppose que c'est aussi égal à $p/q$ ($p,q$ entiers), on fait des encadrements en retranchant le début de la somme. J'y réfléchirai

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: exponentielle entier naturel
l’an passé
@Maxtimax : ça ne suffira pas à cause des puissances de $n$ qui sont trop grosses pour faire de bons encadrements. Le cas de $\mathrm{e}$ tout seul fonctionne car ces puissances valent toutes $1$. C'est très bien expliqué dans Making transcendence transparent de Burger et Tubbs chez Springer.
Re: exponentielle entier naturel
l’an passé
Poirot : ah au temps pour moi. Ça m'évite de chercher grinning smiley

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: exponentielle entier naturel
l’an passé
Bonjour,

Juste par rapport à la première formule, tu ne voulais pas dire : $ e^n=m ~~ \Leftrightarrow ~~ n= \ln(m) $ (avec $n,m \in \mathbb{N}$) ?

Je ne sais pas si je suis encore dans le thème.

Cordialement



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: exponentielle entier naturel
l’an passé
@Fourmi : non. La question de Light* était de savoir si l'exponentielle d'un entier naturel pouvait être un entier naturel autre que $1$, et ce n'est pas le cas. Cela revient à demander si le logarithme (népérien) d'un entier naturel peut être un entier naturel autre que $0$. De manière surprenante, ce sont des questions assez difficiles.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Poirot.
Re: exponentielle entier naturel
l’an passé
Ah, je comprends la problématique !

C'est vrai qu'intuitivement ça paraît presque évident, mais de là à le démontrer rigoureusement c'est une autre paire de manches. J'aurais été tenté de dire "naïvement" que comme le nombre $e$ a une infinité de décimales, $e^x$ ou sa réciproque $\ln(x)$ (avec des entiers) ne pourrait pas donner d'entier, mis à part 1 (ou 0). Mais bon, ce n'est pas très scientifique !



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: exponentielle entier naturel
l’an passé
Même pour un nombre irrationnel ce raisonnement ne fonctionne pas en général. Par exemple $\sqrt 2$ a un développement décimal sans période car il est irrationnel, pourtant son carré fait $2$. Ici il faut utiliser une propriété bien plus forte et difficile à montrer de $\mathrm{e}$, le fait qu'il est transcendant.
Re: exponentielle entier naturel
l’an passé
Bonjour,

un truc qu'on peut montrer en utilisant seulement l'irrationalité de $e$ (i.e. pas sa transcendance) c'est qu'il n'existe pas $(a,b) \in \mathbb N^2$, $a$ et $b$ étrangers, tels que $e^a$ et $e^b$ soient rationnels, a fortiori entiers:

Pour tout $(a,b) \in \mathbb N^2$ tel que $a$ et $b$ sont étrangers, il existe $c\in \mathbb N$ tel que tout entier $n$ plus grand que $c$ peut s'écrire $\lambda a+ \mu b$ pour quelque $(\lambda , \mu)\in \mathbb N ^2 $. Si $e^a$ et $e^b$ étaient rationnels, tout $e^n$ et tout $e^{n+1}$ le seraient dès que $n$ est plus grand que $c$ et donc leur quotient $e$ aussi. Absurde.

Cordialement
Paul

Edit: bien plus simple: Bezout, puisque si $e^a$ est rationnel, $e^{-a}$ aussi!



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par depasse.
Re: exponentielle entier naturel
l’an passé
Bien vu Poirot, je ne suis pas familier du tout avec ce thème de transcendance mais c'est une démonstration qui m'a l'air particulièrement utile.

@Depasse : j'ai peut-être raté quelque chose, mais je ne comprends pas en quoi le fait que $e^a$ soit rationnel si $(\frac{1}{e})^a$ l'est aussi prouve l'irrationnalité de $e^a$ pour tout $a$ entier naturel ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Fourmi.
Utilisateur anonyme
Re: exponentielle entier naturel
l’an passé
Aussi, il y a un théorème qui dit que si les $\alpha_i$ (distincts) et les $\beta_i$ (non nuls) sont algébriques, alors $$\sum_{i=1}^n \beta_i \exp (\alpha_i) \neq 0$$



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Satan.
Re: exponentielle entier naturel
l’an passé
Bonsoir Fourmi,

Citation
Moi
un truc qu'on peut montrer en utilisant seulement l'irrationalité de $e$ (i.e. pas sa transcendance) c'est qu'il n'existe pas $(a,b) \in\mathbb N^2$, $a$ et $b$ étrangers, tels que$e^a$ et $e^b$ soient rationnels, a fortiori entiers.

Je maintiens, de même que sa preuve écrite en noir.

Cependant, après avoir posté cette preuve, je me suis dit, couillon, il y a bien plus simple en utilisant seulement Bezout. Je détaille mon edit:

Supposons $(a,b) \in
\mathbb N^2$, $a$ et $b$ étrangers, tels que $e^a$ et $e^b$ soient rationnels. Alors, pour tout $(u,v) \in\mathbb Z^2$, $e^{au}$ et $e^{bv}$ sont rationnels et donc leur produit $e^{au+bv}$ est rationnel. En choisissant un $(u,v)$ tel que $au+bv=1$ (Bezout assure qu'il en existe) on conclut que $e^{au+bv}=e^1=e$ est rationnel. Absurdité.

Je ne fais que prouver que s'il existait un ensemble non vide d'entiers $n$ non nuls, tels que les $e^n$ soient rationnels, alors ces entiers seraient des les multiples du plus petit d'entre eux.

En espérant avoir été plus clair
Cordialement
Paul

Edit



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par depasse.
Re: exponentielle entier naturel
l’an passé
Bonsoir Depasse,

Ah ça y est, j'ai compris, l'explication est très claire. En fait on peut dire ça à partir du moment où l'on sait que $e^1=e$ est irrationnel.
Merci beaucoup,

Bonne soirée
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