Polynôme d'Euler et $2457097 \mod x$
dans Arithmétique
Bonjour,
J'ai voulu faire le test de chercher les suites de nombres premiers dans $n\mod x$ pour $x=1,...,n$ en espérant empiriquement trouver de grandes suites. J'ai été étonné de trouver de nombreux polynômes de la forme $x^2+x+y$, et en particulier le célèbre polynôme d'Euler $x^2+x+41$ dans le nombre $2457097$ (on le retrouve aussi partiellement dans d'autres nombres plus petits).
En effet pour $2457097 \mod x$ pour les valeurs de $x$ entre 1568 et 1607, nous trouvons la suite des 40 nombres premiers du polynôme d'Euler.
Est-ce que ça a déjà été constaté, et a-t-on une explication de ce phénomène ?
Je vous remercie.
J'ai voulu faire le test de chercher les suites de nombres premiers dans $n\mod x$ pour $x=1,...,n$ en espérant empiriquement trouver de grandes suites. J'ai été étonné de trouver de nombreux polynômes de la forme $x^2+x+y$, et en particulier le célèbre polynôme d'Euler $x^2+x+41$ dans le nombre $2457097$ (on le retrouve aussi partiellement dans d'autres nombres plus petits).
En effet pour $2457097 \mod x$ pour les valeurs de $x$ entre 1568 et 1607, nous trouvons la suite des 40 nombres premiers du polynôme d'Euler.
Est-ce que ça a déjà été constaté, et a-t-on une explication de ce phénomène ?
Je vous remercie.
Réponses
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J'ai constaté que les nombres donnant une partie d'un polynôme de la forme $x^2+x+y$ font parti de ce même polynôme. Par exemple $2457097$ est le 1567° terme du polynôme $x^2+x+41$.
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Bonjour
je pense que tu dois trouver la réponse dans l'arithmétique modulaire...Je ne suis pas assez compétent pour te donner l'explication ..
Mais il doit y avoir une raison... -
Bonjour,
Lorsque l'on cherche les diviseurs du polynômeP(X)= X2+X+41,par une méthode d'identification en
exprimant les resultats dans une base P,X1,X0 au lieu de X2,X1,X0
on trouve des trinômes de la forme
R1=G12 *P + 2 * G1 * k1*X + k1*(k1+G1)
R2=G22 *P + 2 * G2 * k2 *X + k2*(k2+G2)
dont le produit R1*R2=P(T2)=T22+T2+41
avec
T2=G1*G2*P + (k2*G1 + k1*G2)*X + k1*k2 + (k2*G1 + k1*G2 -1)/2
G1 et G2 étant toujours premiers entre eux et liés aux k1 et k2 par l'identité de Bezout
k2*G1 - k1 *G2 =(-1)i
En conclusion:
si deux nombres sont premiers entre eux il existe deux trinômes diviseurs du polynome P(T2)=T22+T2+41 correspondant aux formules écrites ci dessus.
Tous ces trinômes diviseurs sont premiers lorsque leur valeur numérique fonction de X est inférieure à 412
Dans le cas particulier deux nombres de FIBONACCI successifs (qui sont premiers entre eux )
la formule générale d'un trinôme diviseur devient
Di= Fi2 * P + 2*Fi * Fi-1 * X + Fi+1 * Fi-1
A noter que dans cette base le coefficient numérique 41 est cache (les formules restent valables quelque sout le nombre Q utilisé
à laplace de 41)
qui peut partiellement se factoriser dans la base X2,X1,X0
Ri=[(Fi*X+Fi-1)*(Fi*X+Fi+1)+Fi2*Q]
Beaucoup d'autres propriétés dont certaines restent à démontrer existent
Cordialement
Serge donnet -
Bonjour Frédérik
Ton problème à une portée plus générale
Quelque soit N
soit P(N)=N2+N+41
soit X un entier compris entre 0 et 40
on cherche les restes de la division de P(N) par N+X
on montre aisément que
P(N)-(N+X)*(N+1-X)=P(1-X)
qui est identique P(X)
ce qui répond à ta question
on montre également que quelque soit N le trinôme N2+N+41 divise un autre trinôme M2+M+41
la réciproque n'est pas vraie
démonstration:
Soient Q un entier non nul ,T une variable entière de Z
Soit P(T)=T2+T+Q
Soit T2 défini par
T2= H* P(T)+ T
P(T2) =(H*P( T) + T)2+ H*P( T) + T +Q
P(T2) =H2*P( T)2 + T2 + 2*H*P(T)*T+ H*P( T) + T +Q
En regroupant ensemble T2 + T+ Q =P(T)
P(T2) = H2 * P(T)2 + 2*H*P(T)*T + H*P( T) +P(T)
P(T) se met en facteur
P(T2) = P( T) * [ H2 * P(T)+ 2*H*T+ H+1 ]
P(T2) s'écrira finalement
P(T2)=P(T)* D2
par conséquent P(T) divise bien un autre P(T2)
le quotient étant un trinôme diviseur D2
D2 = H2*P( T)+ 2*H*T+ H+1
cordialement
S.donnet -
Merci beaucoup pour ton explication donnet, je n'ai pas encore eu le temps de la décortiquer en détail mais je pense que ça va me faire avancer.
De mon coté j'ai trouvé d'autres propriétés intéressantes mais je n'ai pas encore fini mon analyse, j'écrirai un post si mon idée se concrétise.
Cordialement. -
Bonjour Fréderick
il y a beaucoup à dire avec ces trinômes P(T)=T2+T+Q dont ceux des nombres chanceux d'Euler sont des cas particuliers
Par exemple en partant de la famille des trinômes diviseurs à coefficients de Fibonacci dans la base P,X1,X0
Di= Fi2 * P + 2*Fi * Fi-1 * X + Fi+1 * Fi-1
on peut démontrer les deux identités suivantes :
(1+4*FI-2*Fi-1*Fi*Fi+1)0,5 = Fi2+Fi-1*Fi-2
et
(1+4*Fi*Fi-12*Fi-2)0,5=(Fi2+Fi-12+Fi-22) /2
cordialement -
bonjour
un petit problème
Lorsque j'étudie les diviseurs du polynôme d'Euler P(T)=T2+T+41,
Pout T<1681 (412)
Il n'y en jamais plus de trois et il sont tous premiers s'ils dont eux mêmes inférieurs à 1681.
cordialement -
Effectivement les identités des trinômes diviseurs de Fibonacci sont très étonnantes. En revanche je n'ai pas compris ce que tu voulais dire par :
Il n'y en jamais plus de trois et il sont tous premiers s'ils dont eux mêmes inférieurs à 1681.
Cordialement. -
Bonjour ,Fredrick
Voici ce que j'avais observé avec un tableur et une table de nombres premiers pour P(T)=T2+T+41 :
et que j'avais laissé en plan avant que tu poses ta question il y a quelques jours.
Les valeurs prises par P(T)pour T variant de 0 à 1 680 montrent les résultats suivants:
Parmi les 1 681 valeurs ainsi générées,
886 valeurs sont des nombres premiers dont les 40 premières valeurs pour de T variant
successivement de 0 à 39 .
Parmi les 795 valeurs non premières,
733 valeurs sont des produits de deux diviseurs dont 1 à un diviseur double.
62 valeurs sont des produits de trois diviseurs dont 8 ont un diviseur double.
Pour T<=1 680 , il n'a pas été trouvé plus de trois diviseurs de P(T).
pris de curiosité les calculs étant moins longs, j'ai voulu faire la même chose avec P(T)=T2+T+11
Cette formule est également l'une des nombres chanceux d'Euler
Les valeurs prises par P(T)pour T variant de 0 à 120 montrent les résultats suivants:
Parmi les 121 valeurs ainsi générées,
55 valeurs sont des nombres premiers dont les 10 premières valeurs pour de T variant
successivement de 0 à 9 .
Parmi les 66 valeurs non premières,
55 valeurs sont des produits de deux diviseurs dont 1 a un diviseur double.
11 valeurs sont des produits de trois diviseurs dont 2 ont un diviseur double.
Pour T<=120 , il n'a pas été trouvé plus de trois diviseurs de P(T).
Le premier produit de quatre diviseurs avec un doublon se rencontre pour T=252.
Le premier produit de quatre diviseurs distincts se rencontre pour T=274.
Lorsqu'il n'y a que deux diviseurs même au delà du nombre chanceux ils sont premiers mais
on s'y attendait car si celà n'était pas vrai i ly aurait plus de deux diviseurs (Lapallisse) .
Ce que j'en conclus en attendant de pouvoir le prouver.
il ne peut pas y avoir plus de trois diviseurs de P(T) pour T inférieur au nombre chanceux au carré.
tous ces diviseurs sont premiers .
J'imagine sans en être encore certain qu'il doit y avoir une relation avec le nombre de possibilité
d'obtenir un même T(X) tel que
R1=G12 *P + 2 * G1 * k1*X + k1*(k1+G1)
R2=G22 *P + 2 * G2 * k2 *X + k2*(k2+G2)
dont le produit R1*R2=P(T2)=T22+T2+41
avec
T2=G1*G2*P + (k2*G1 + k1*G2 )*X + k1*k2 + (k2*G1 + k1*G2 -1)/2
il faudrait donc chercher les differents couples G1,G2 de nombres premiers entre eux donnant
la mëme valeur de T selon la formule ci dessus .
Ou étudier les combinaisons sans répétitions possibles de p diviseurs distincts pour relier leur nombre au nombre
de même T2 identiques .
j'ai encore du grain à moudre .
Amicalement -
Bonjour
@donnet, je pense que lorsque la taille de $T$ serra suffisamment grande tu auras des produits de 4 diviseurs et plus....
Ce polynôme $P(T) = T^2 +T + 41 = N_n $ peut s'écrire $2N_n + 2 - N_{n-1} = N_{n+1}$ pour pour $T$ de zéro à trente.
puis on classe ce polynôme en fonction des familles représentées ie: en progression arithmétique de raison 30 de premier terme ${7; 11; 13; 17; 23; 31}$ ce qui donne pour $T> 30$ :
$ P(X)=(T+30k)^² + (T+30k) +41 = X_n$
d'où :
$2X_n +1800 - X_{n-1} = X_{n+1}$.
On voit clairement que la densité de nombre de premiers se répartie équitablement dans ces 6 Familles...avec trente polynômes $P(X)$ .
("Ce qui reste conforme au théorème de densité des nombres premier dans les suites en progression arithmétique..")
voici un petit fichier en exemple. -
Bonjour à tous
@Leg Merci Leg de ce très excellent mémo. Cela m'a donné l'occasion de relire ce qui a été écrit sur le forum par L.G .(C'est toi ?)
Je recommande pour ceux qui s'intéressent à la densité des NP le PDF:
Etude sur la répartition des nombres premiers, Densité de la suite ...
http://www.math-info.univ-paris5.fr/~gchagny/ProjetL3.pdf
qui est assez facile à lire et qui apporte un bon éclairage sur le sujet.
Bon Dimanche.
SD
[Activation du lien. AD] -
@donnet
je ne pense pas que l'on puisse établir une relation entre ces deux densités:
le théorème des nombre premiers et sa fonction et ,
la densité de premiers dans les polynômes, notamment celui d'Euler ,
car par exemple la fonction $\frac{1} {Ln N}$ , il y a 8 familles de nombres premiers donc on peut diviser cette fonction par 8 pour retrouver une même densité de premiers par famille en moyenne générale..
Mais, le polynôme d'Euler ne travaille que dans 6 familles sur les 8 , comme le montre le petit PDF que j'ai joint.
hors, par famille tu ne peux pas faire de relation avec le fonction du TNP...puisqu'il y a un nombre fini de polynômes de 0 à 30 dont il est quasiment impossible de connaître leur densité de premiers, par rapport à l'une des famille en question.
Exemple: prenons la suite (famille) arithmétique 11 de raison 30..et le polynôme $(x+30k)^2 + (x+30k) + 41$ donc de premier terme 41 pour x= 0 et k=1.
41; 971; 3701; 8231....etc...
pour 43, suite 13 de raison 30 ;
43; 1033; 3823 ; (8413 = 47*179) ...etc;
impossible d'en connaître la densité à mon avis sachant que la fonction quelque soit la famille est :
$2*971 +1800 - 41 = 3701$ ; soit : $2*N_n +1800 -N_{n-1} = N_{n+1}$ .
on a donc 30 polynômes ...$(x+30k)^2 + (x+30k) + 41$ avec cette même fonction.
prends le polynôme d'Euler, mais avec 29:
$x^2 + x + 29$ même fonction...Mais, regardes les trois première valeurs 31; 41 ; et 49 donnant les polynômes :
.$(x+30k)^2 + (x+30k) + 29$
On est loin d'avoir les même densités...entre les deux polynômes...! je joint le fichier de ce polynôme avec 29 -
Bonjour à tous
@Fredrick
Voici une meilleure version de ma démonstration précédente.
Soit P(N)=N2+N+Q (Q étant un élément de Z, dans ton cas particulier Q=41)
De même
P(X)= X2+X+Q
Alors
P(N+X)= N2+N+Q+X2+X+Q
P(N+X)=P(X)+N2+N+2*N*X
En retranchant la première égalité de la seconde
0=P(X)-P(N)+(N-X)*(N+X+1)
Et en final
P(N)-P(X)=(N-X)*(N+X+1)
Qui est par définition signifie P(N) congru à P(X) modulo ( N-X) ou modulo (N+X+1).
C'est une des remarquables propriétés des "polynômes d'Euler"
Courtoisement
Serge
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Bonjour!
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