Polynôme d'Euler et $2457097 \mod x$

Bonjour,

Lorsque l'on cherche les diviseurs du polynômeP(X)= X²+X+41,par une méthode d'identification en
exprimant les resultats dans une base P,X¹,X⁰ au lieu de X²,X¹,X⁰

on trouve des trinômes de la forme
R₁=G₁² *P + 2 * G₁ * k₁*X + k₁*(k₁+G₁)
R₂=G₂² *P + 2 * G₂ * k₂ *X + k₂*(k₂+G₂)
dont le produit R₁*R₂=P(T₂)=T₂²+T₂+41
avec
T₂=G₁*G₂*P + (k₂*G₁ + k₁*G₂)*X + k₁*k₂ + (k₂*G₁ + k₁*G₂ -1)/2
G₁ et G₂ étant toujours premiers entre eux et liés aux k₁ et k₂ par l'identité de Bezout
k₂*G₁ - k₁ *G₂ =(-1)ⁱ

En conclusion:
si deux nombres sont premiers entre eux il existe deux trinômes diviseurs du polynome P(T₂)=T₂²+T₂+41 correspondant aux formules écrites ci dessus.

Tous ces trinômes diviseurs sont premiers lorsque leur valeur numérique fonction de X est inférieure à 41²

Dans le cas particulier deux nombres de FIBONACCI successifs (qui sont premiers entre eux )
la formule générale d'un trinôme diviseur devient
D_i= F_i² * P + 2*F_i * F_i-1 * X + F_i+1 * F_i-1
A noter que dans cette base le coefficient numérique 41 est cache (les formules restent valables quelque sout le nombre Q utilisé
à laplace de 41)

qui peut partiellement se factoriser dans la base X²,X¹,X⁰
R_i=[(F_i*X+F_i-1)*(F_i*X+F_i+1)+F_i²*Q]



Beaucoup d'autres propriétés dont certaines restent à démontrer existent

Cordialement

Serge donnet

bonjour
un petit problème

Lorsque j'étudie les diviseurs du polynôme d'Euler P(T)=T²+T+41,

Pout T<1681 (41²)

Il n'y en jamais plus de trois et il sont tous premiers s'ils dont eux mêmes inférieurs à 1681.


cordialement

Bonjour ,Fredrick


Voici ce que j'avais observé avec un tableur et une table de nombres premiers pour P(T)=T²+T+41 :
et que j'avais laissé en plan avant que tu poses ta question il y a quelques jours.

Les valeurs prises par P(T)pour T variant de 0 à 1 680 montrent les résultats suivants:
Parmi les 1 681 valeurs ainsi générées,
886 valeurs sont des nombres premiers dont les 40 premières valeurs pour de T variant
successivement de 0 à 39 .
Parmi les 795 valeurs non premières,
733 valeurs sont des produits de deux diviseurs dont 1 à un diviseur double.
62 valeurs sont des produits de trois diviseurs dont 8 ont un diviseur double.
Pour T<=1 680 , il n'a pas été trouvé plus de trois diviseurs de P(T).

pris de curiosité les calculs étant moins longs, j'ai voulu faire la même chose avec P(T)=T²+T+11
Cette formule est également l'une des nombres chanceux d'Euler
Les valeurs prises par P(T)pour T variant de 0 à 120 montrent les résultats suivants:
Parmi les 121 valeurs ainsi générées,
55 valeurs sont des nombres premiers dont les 10 premières valeurs pour de T variant
successivement de 0 à 9 .
Parmi les 66 valeurs non premières,
55 valeurs sont des produits de deux diviseurs dont 1 a un diviseur double.
11 valeurs sont des produits de trois diviseurs dont 2 ont un diviseur double.
Pour T<=120 , il n'a pas été trouvé plus de trois diviseurs de P(T).

Le premier produit de quatre diviseurs avec un doublon se rencontre pour T=252.
Le premier produit de quatre diviseurs distincts se rencontre pour T=274.
Lorsqu'il n'y a que deux diviseurs même au delà du nombre chanceux ils sont premiers mais
on s'y attendait car si celà n'était pas vrai i ly aurait plus de deux diviseurs (Lapallisse) .

Ce que j'en conclus en attendant de pouvoir le prouver.
il ne peut pas y avoir plus de trois diviseurs de P(T) pour T inférieur au nombre chanceux au carré.
tous ces diviseurs sont premiers .
J'imagine sans en être encore certain qu'il doit y avoir une relation avec le nombre de possibilité
d'obtenir un même T(X) tel que
R₁=G₁² *P + 2 * G₁ * k₁*X + k₁*(k₁+G₁)
R₂=G₂² *P + 2 * G₂ * k₂ *X + k₂*(k₂+G₂)
dont le produit R₁*R₂=P(T₂)=T₂₂+T₂+41
avec
T₂=G₁*G₂*P + (k₂*G₁ + k₁*G₂ )*X + k₁*k₂ + (k₂*G₁ + k₁*G₂ -1)/₂
il faudrait donc chercher les differents couples G₁,G₂ de nombres premiers entre eux donnant
la mëme valeur de T selon la formule ci dessus .
Ou étudier les combinaisons sans répétitions possibles de p diviseurs distincts pour relier leur nombre au nombre
de même T2 identiques .
j'ai encore du grain à moudre .
Amicalement

Bonjour à tous
@Leg Merci Leg de ce très excellent mémo. Cela m'a donné l'occasion de relire ce qui a été écrit sur le forum par L.G .(C'est toi ?)
Je recommande pour ceux qui s'intéressent à la densité des NP le PDF:
Etude sur la répartition des nombres premiers, Densité de la suite ...
http://www.math-info.univ-paris5.fr/~gchagny/ProjetL3.pdf
qui est assez facile à lire et qui apporte un bon éclairage sur le sujet.
Bon Dimanche.
SD

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@donnet
je ne pense pas que l'on puisse établir une relation entre ces deux densités:
le théorème des nombre premiers et sa fonction et ,
la densité de premiers dans les polynômes, notamment celui d'Euler ,
car par exemple la fonction $\frac{1} {Ln N}$ , il y a 8 familles de nombres premiers donc on peut diviser cette fonction par 8 pour retrouver une même densité de premiers par famille en moyenne générale..

Mais, le polynôme d'Euler ne travaille que dans 6 familles sur les 8 , comme le montre le petit PDF que j'ai joint.
hors, par famille tu ne peux pas faire de relation avec le fonction du TNP...puisqu'il y a un nombre fini de polynômes de 0 à 30 dont il est quasiment impossible de connaître leur densité de premiers, par rapport à l'une des famille en question.

Exemple: prenons la suite (famille) arithmétique 11 de raison 30..et le polynôme $(x+30k)^2 + (x+30k) + 41$ donc de premier terme 41 pour x= 0 et k=1.
41; 971; 3701; 8231....etc...

pour 43, suite 13 de raison 30 ;
43; 1033; 3823 ; (8413 = 47*179) ...etc;

impossible d'en connaître la densité à mon avis sachant que la fonction quelque soit la famille est :
$2*971 +1800 - 41 = 3701$ ; soit : $2*N_n +1800 -N_{n-1} = N_{n+1}$ .

on a donc 30 polynômes ...$(x+30k)^2 + (x+30k) + 41$ avec cette même fonction.

prends le polynôme d'Euler, mais avec 29:
$x^2 + x + 29$ même fonction...Mais, regardes les trois première valeurs 31; 41 ; et 49 donnant les polynômes :
.$(x+30k)^2 + (x+30k) + 29$

On est loin d'avoir les même densités...entre les deux polynômes...! je joint le fichier de ce polynôme avec 29