lemme de Hensel

Bonjour
Si quelqu'un pouvait m'aider à comprendre cette exemple (une application du lemme de Hensel sur les idempotents).
J'énonce d'abord le lemme de Hensel suivant.

" si un anneau noethérien A est complet pour la topologie I-adique pour un certain idéal I et si P est un polynôme à coefficients dans A alors, tout élément a de A tel que, modulo I, P(a) soit nul et P'(a) soit inversible, se relève de façon unique en une racine de P dans A".

Et voici l'exemple :
"Soit A un anneau local noethérien, complet pour la topologie M-adique associée à son idéal maximal M, et soit B une A-algèbre commutative, de type fini en tant que A-module. Alors, toute famille d'idempotents « orthogonaux » de B/MB se relève, de façon unique, en une famille d'idempotents orthogonaux de B"

En effet, les idempotents sont les racines du polynôme P(X) := X^2 – X, et si P(e) est nul alors P'(e) est son propre inverse. Or B est complet pour la topologie MB-adique, ce qui permet, grâce au lemme de Hensel (ci-dessus) de relever chaque idempotent de B/MB en un idempotent de B. Enfin, si deux idempotents de B sont orthogonaux modulo MB, alors ils le sont dans l'absolu : leur produit x est nul car (par complétude) 1 – x est inversible, or x(1 – x) = 0.

Les questions dont je cherche une réponse s'il vous plait sont les suivantes.
1°) Comment P'(e) est le propre inverse de P(e) ? (je ne vois pas que p(e) p'(e) = le neutre dans B/MB).
2°) Qu'est-ce qui a permis de dire que B est complet pour la topologie MB adique ?
3°) Que veut-on dire par le mot (dans l'absolu) ?
4°) Je sais que si 2 éléments a et b idempotents sont orthogonaux si ab=0, est-ce que orthogonaux modulo MB signifie la même chose ie que ab=0 mod(MB) ?

Merci.

Merci Claude j'ai pas fait attention

merci GaBuZoMeu

Bonjour, si quelqu'un pouvait m'aider à comprendre ceci :
Théorème (lemme de Hensel) :
"Soit $f(x) \in \mathbb Z_p[x]$ et $a \in \mathbb Z_p$ tels que $|f(a)| <|f'(a)|^2$ alors il existe un unique $b$ dans $\mathbb Z_p$ tel que

1°) $f(b) =0$ et 2°) $|b-a|<|f'(a)|$
de plus on a:

1°) $|b-a| = \frac{|f(a)|}{|f'(a)|}$ et 2°) $|f'(b)| = |f'(a)|$ ".
Remarque :

" In the theorem we have $|f'(b)| = |f'(a)| \not = 0$, son Hensel's lemma produces a simple root of $f(x)$ in $\mathbb Z_p$ that is close to $a$. The criterion $|f(a)| <|f'(a)|^2$ in the theorem is not just a sufficient condition for there to be a simple root of $f(x)$ near $a$ but it is also more or less necessary, as the next theorem makes precise."

Mon problème c'est que j'ai pas bien compris la remarque , peut-être que je l'ai mal traduit. Si quelqu'un peut me l'expliquer .
Merci d'avance.

[Fais un effort quand tu écris ! Et Kurt Hensel (1861-1941) mérite bien une majuscule dans son nom. Poirot]

comment vous écrivez les formules ici ? je maitrise latex mais dans ce forum , je ne sais pas comment vous faites ?!

Bonjour , je cherche un exemple pour illustrer le lemme de Hensel suivant :

lemme de Hensel pour les fonctions analytiques

"Soit $f$ une fonction analytique de ${A}_c(I)$ et r un nombre de l'intervalle $I$.il existe un polyn$\hat{o}$me P de $\C_p[X-c]$ et une fonction $g$ de ${A}_c(I)$ tels que :
$f(X) = P(X) g(X)$
Toute racine $\alpha$ du polyn$\hat{o}$me P vérifie $|\alpha |= r$
La fonction g est r-extrémale "

avec :
${A}_c(I)$ est l 'ensemble des fonctions analytiques dans la couronne $\{ x \in \C_p : |x-c| \in I \}$

$g$ est $r$-extrémale s'il existe un unique entier $n_0 $ tel que : si $\displaystyle g(x) = \sum_{n \in \Z}a_n (x-c)^n$ alors $|g|_c(r) = |a_{n_0}|r^{n_0}$
($|.|_c(r)$ définit une valeur absolue sur $A_c(I) $ telle que : $|g|_c(r) = \sup\limits_{n \in \Z} |a_n|r^n$)
(Non , elle n'est pas cassée, sauf que j'ai utilisé \hat{o} pour désigner ^ )

Mais un polynome c'est pas la même chose qu'une fonction analytique dans une couronne ?!
Soit $I$ un intervalle de $\R^+ \cup \{\infty\}$ , on pose :
$$ {A}_c(I) = \{f(x) = \sum_{n \in \Z} a_n (x - c)^n : a_n \in \C_p \;\;\; et\;\;\; \lim\limits_{ n \rightarrow \infty} |a_n|r^n = 0 \;\; \;\forall r \in I\}$$

Ah d'accord , (c'est juste par ce que je ne savais pas comment écrire l'accent 'chapeau' par le clavier )

Les fonctions holomorphes sont les fonctions analytiques complexes .Mais en quoi ceci va nous servir ?( j'ai pas bien compris ce que tu veux dire $Poirot$ )

Bonjour Poirot
Peux tu m'expliquer un peu ?si on se demande de citer les diiférences entre un polynôme et une fonction analytique ?voilà je que je retiens moi :
1) un polynome c'est une notion plus générale qu'une fonction analytique , cette derniére on ne peut la définir que sur un couronne , un ouvert ..ie
2) une fonction analytique est une série
3)un polynome P peut etre considéré comme une série tels que à partir de deg(P) +1 les termes s'annulent
4) il n'ya pas de lien entre fonctions analytiques et polynome ??!

Merci poirot

@GaBuZoMeu , $K$ un corps ultramétrique comlpet et $\mathcal{O}$ son annaeu de valuation et $\mathcal{K} = \frac{\mathcal{O}}{\mathcal{M}}$ son corps résiduel . ($\mathcal{M}$ est l'idéal maximal de $\mathcal{O}$) (est ce que c'est un probléme si je note le corps résiduel $\mathcal{K}$ ? je ne voulais pas le noter $k$ pour ne pas le confondre avec $K$ )

@Poirot : tu dis " Il faut bien comprendre que le lemme de Hensel ne peut s'appliquer que dans des corps très particuliers, c'est extrêmement puissant ! "
je ne comprends pas bien ces genres d'expressions: quand un lemme ne s'applique que dans des corps particuliers cela veut dire qu'il est fort ? pour moi je croyais le contraire , c'est à dire , il ne se considére pas fort sauf si je peux l'appliquer dans n'importe quel corps ?!

si j'ai bien compris ,le lemme de Hensel nous donne un puissant outil de démonstration d'existence de racines dans des corps ultramétriques complets comme $\Q_p$ , $\C_p$ et c'est l'analogue de la méthode de Newton dans le cas réel ?!