Nombre de solutions de $\sum x_{i} =n$

Le nombre de solutions dans ce cas-ci est également connu : si l'équation est $x_1 + \dotsb + x_k = n$ avec $1 \leqslant x_i \leqslant c$, il est égal à
$$\sum_{h=0}^{\lfloor (n-k)/c \rfloor} (-1)^h {k \choose h} {n-hc-1 \choose k-1}.$$
On a de même une formule pour la même équation avec la contrainte $x_i > c_i$, où, cette fois, les $c_i$ ne sont pas nécessairement égaux.

Référence.

V. N. Murty, Counting the integer solutions of a linear equation with unit coefficients, Math. Magazine 54 (1981), 79--81.

Ici : https://www.jstor.org/stable/2690441?seq=1#page_scan_tab_contents

@ noix de totos
Merci pour ce « preview », mais tout un chacun peut le trouver et il ne donne pas l'intégralité de l'article.
Je présume que comme universitaire tu as tout ça gratuitement mais ce n'est pas le cas pour le professeur de prépas, a fortiori retraité.
Cette revue, Mathematics Magazine, est l'une des trois revues de la Mathematical Association of America, la plus connue étant l'American Mathamatical Monthly qui, elle, est facile à trouver en bibliothèque universitaire. Mais par exemple la bibliothèque universitaire de Jussieu, à Paris, est abonnée à Mathematics Magazine certaines années et d'autres non. En ce moment, c'est non. Peut-être l'année 1981 est-elle dans les collections disponibles, peut-être pas.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Oui c'est un problème intéressant, par exemple pour étudier la variable aléatoire qui est la somme des nombres obtenus sur $k$ dés à $c$ faces. L'espérance et la variance sont faciles, mais la fonction de distribution s'exprime avec l'horrible formule vue plus haut.

Merci pour la suggestion jean-éric. Il est arrivé que des membres de ce forum fournissent les textes demandés mais apparemment la mode en est passée.

Je vais faire un effort ...

Comme à son habitude, Éric a été très efficace...On ne peut que l'en remercier ! Ça m'évitera, entre autres, de perdre du temps en vaines recherches.

Ça tombe bien, en effet !

... les profs de collège aussi parfois. :-D