Nombre de solutions de $ax+by+(a+b+kab) z=n$

On pourra commencer par traiter des cas particuliers pour résoudre le problème proposé.

Par exemple, $ax+by+(a+b) z=n$ pourquoi pas prendre des valeurs numériques comme $5x+13y+18z=n$

Al-Kashi

Bonjour,

Voici la solution que j'ai trouvée à mon exercice inventé ( à confirmer donc):
ajout:On pose $c=a+b+kab$
La notation $(p)_{q}$ signifie reste de la division euclidienne de $p$ par $q$
Attention (edit): dans la notation $(nb^{-1})_{a}$, $b^{-1}$ est un représentant de l'inverse de $b$ modulo $a$
edit2: j'ai traité le cas où les entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux, mais on peut très bien traiter le cas général en ajoutant leur pgcd dans les formules.
Les formules seront données sous la forme d'une sorte de polynôme comme celle citée pour la forme général d'un dénumérant dans le livre de L.Comtet.
On distingue $4$ cas:

Premier cas:
Si $(nb^{-1})_a \ge \lfloor (\dfrac{n}{c}) \rfloor_{a}$ et $(na^{-1})_b > \lfloor (\dfrac{n}{c}) \rfloor_{b}$
Alors le nombre de solution de l'équation ci-dessus est donné par:

2 coquilles corrigées
$\dfrac{1}{2abc}n²+\dfrac{b+c+a}{2abc}n-\dfrac{1}{2abc}(n)_{c}²+\dfrac{1}{2ab}(n)_{c}+\dfrac{a-1}{2ac}(n)_{ac}+\dfrac{1-b}{2bc}(n)_{bc}$
$-\dfrac{1}{2a}((nb^{-1})_a- \lfloor (\dfrac{n}{c}) \rfloor_{a})(\lfloor (\dfrac{n}{c}) \rfloor_{a}+1)+\dfrac{1}{2b}(-(na^{-1})_b+b+ \lfloor (\dfrac{n}{c}) \rfloor_{b})(\lfloor (\dfrac{n}{c}) \rfloor_{b}+1)$

Deuxième cas:
Si

edit 3: je n'ai pas terminé mon poste car en écrivant je me suis rendu compte qu'il était à priori possible de donner une seule formule. Je préfère vérifier d'abord.