Une congruence

$x^2+2x+2=(x+1)^2+1$

Donc,

$x^2+2x+2\equiv 0 \mod{p^n}$

implique que $(x+1)^2\equiv -1\mod{p}$

c'est à dire que $-1$ est un résidu quadratique modulo $p$.

et lire https://fr.wikipedia.org/wiki/Résidu_quadratique

PS:
Ce qui semble donc est que si $-1$ est un résidu quadratique modulo $p$, nombre premier impair, alors l'équation $x^2+2x+2\equiv 0 \mod{p^n}$ a des solutions pour $n\geq 1$.

Bonjour
A partir des solutions de $x^2+1 \equiv 0$ mod $1973$ on peut obtenir , par changement de variable affine, celles de $x^2+1 \equiv 0$ mod $1973^2$
Les solutions de $x^2+1 \equiv 0$ mod $1973$ sont $259$ et $-259=1714$

Et toute solution $x$ de $x^2+1 \equiv 0$ mod $1973^2$ est solution de
$x^2+1 \equiv 0$ mod $1973$ donc $x=259+1973t$ ou $x=-259+1973t$
et on cherche $t$ pour avoir une solution de $x^2+1 \equiv 0$ mod $1973^2$

Pour $x=259+1973t$, on obtient $34+518t \equiv 0$ mod $1973$ :
Il faut inverser $518$, modulo $1973$, : cela peut se faire à la main via Euclide qui donne 6 divisions et
$-225×1973+857×518=1$
ce qui donne $t\equiv -34×857 \equiv 457$ mod $1973$
et $x\equiv 259+1973×457=901920$ mod $1973^2$

Aspect général : lemme d'Hensel