Une congruence
dans Arithmétique
Bonjour,
on cherche à résoudre la congruence $x^2+2x+2\equiv 0\pmod{125}$. Y a-t-il une méthode générale pour s'attaquer à cette équation en remplaçant plus généralement 125 par $p^3$ où $p$ est un nombre premier.
Merci.
on cherche à résoudre la congruence $x^2+2x+2\equiv 0\pmod{125}$. Y a-t-il une méthode générale pour s'attaquer à cette équation en remplaçant plus généralement 125 par $p^3$ où $p$ est un nombre premier.
Merci.
Réponses
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On résout modulo $5$, puis on relève par Hensel ?
PS. Modulo $5$, on a deux solutions $1$ et $2$. La solution $1$ se relève en $6$ modulo $25$ (poser $x=1+5k$ avec $k$ modulo $5$, et résoudre l'équation de départ modulo $25$, ce qui donne $k=1\pmod5$), et la solution $6$ se relève en $56$ modulo $125$. Procéder de la même manière pour relever $2$. -
$x^2+2x+2=(x+1)^2+1$
Donc,
$x^2+2x+2\equiv 0 \mod{p^n}$
implique que $(x+1)^2\equiv -1\mod{p}$
c'est à dire que $-1$ est un résidu quadratique modulo $p$.
et lire https://fr.wikipedia.org/wiki/Résidu_quadratique
PS:
Ce qui semble donc est que si $-1$ est un résidu quadratique modulo $p$, nombre premier impair, alors l'équation $x^2+2x+2\equiv 0 \mod{p^n}$ a des solutions pour $n\geq 1$. -
J'aime bien la méthode de GBZM (tu)
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Merci beaucoup GaBuZoMeu, votre méthode est très astucieuse.
Cependant, je n'arrive pas à trouver des solutions facilement si on remplace $5$ par un autre nombre premier comme par exemple $1439$. Avec $5$ on trouve assez vite $x=1$ et $x=2$, mais pour la congruence $x^2+2x+2\equiv 0\pmod{1439}$ je sèche depuis tout à l'heure. -
Pour résoudre $x^2+2x+2=0\pmod{1439}$, on fait comme d'hab pour une équation du second degré : mettre le trinôme sous "forme canonique", ici $(x+1)^2-(-1)$, et on se demande si $-1$ a le bon goût d'être un carré modulo $1439$. Comme le groupe multiplicatif de $\Z/1439\Z$ est cyclique et que $-1$ y est d'ordre $2$, ça revient à se demander si l'ordre de ce groupe (soit $1438$) est divisible par $4$ ; manque de bol, ce n'est pas le cas. L'équation n'a donc pas de solution modulo $1439$, et a fortiori pas non plus modulo $1439^3$.
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merci GaBuZoMeu, je viens de comprendre maintenant (tu)
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Avec plaisir.
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Bonjour,
le nombre premier impair $1973$ est congru à 1 modulo 4, donc $(-1)$ est un carré modulo $1973$. Cependant, je ne trouve pas assez facilement une solution de $x^2+2x+2\equiv 0\pmod {1973}$, et a fortiori une solution de $x^2+2x+2\equiv 0\pmod{1973^2}$.
Merci. -
modulo 1973, ton équation a pour solutions 258 et 1713.
modulo $1973^2$, ton équation a pour solutions 901919 et 2990808. -
Bonjour
A partir des solutions de $x^2+1 \equiv 0$ mod $1973$ on peut obtenir , par changement de variable affine, celles de $x^2+1 \equiv 0$ mod $1973^2$
Les solutions de $x^2+1 \equiv 0$ mod $1973$ sont $259$ et $-259=1714$
Et toute solution $x$ de $x^2+1 \equiv 0$ mod $1973^2$ est solution de
$x^2+1 \equiv 0$ mod $1973$ donc $x=259+1973t$ ou $x=-259+1973t$
et on cherche $t$ pour avoir une solution de $x^2+1 \equiv 0$ mod $1973^2$
Pour $x=259+1973t$, on obtient $34+518t \equiv 0$ mod $1973$ :
Il faut inverser $518$, modulo $1973$, : cela peut se faire à la main via Euclide qui donne 6 divisions et
$-225×1973+857×518=1$
ce qui donne $t\equiv -34×857 \equiv 457$ mod $1973$
et $x\equiv 259+1973×457=901920$ mod $1973^2$
Aspect général : lemme d'Hensel
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Bonjour!
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