Nombre de Frobenius pour $k=3$
dans Arithmétique
Bonjour,
Le nombre de Frobenius est connu pour $k=2$.
Sauf erreur de ma part, le problème est toujours ouvert à partir de $k=3$
Je vous propose un petit exercice répondant à ce problème dans un cas particulier :
On considère l'équation $ax+by+cz=n$ avec $ a, b, c$ premiers deux a deux tels que $c$ soit la plus grande des trois valeurs et $a\equiv c (b) $
Déterminer le nombre de Frobenius dans ce cas.
Al-Kashi
Le nombre de Frobenius est connu pour $k=2$.
Sauf erreur de ma part, le problème est toujours ouvert à partir de $k=3$
Je vous propose un petit exercice répondant à ce problème dans un cas particulier :
On considère l'équation $ax+by+cz=n$ avec $ a, b, c$ premiers deux a deux tels que $c$ soit la plus grande des trois valeurs et $a\equiv c (b) $
Déterminer le nombre de Frobenius dans ce cas.
Al-Kashi
Réponses
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Tu peux définir ce que tu entends par "nombre de Frobenius" ?
-
Bonsoir,
C'est le plus edit:grand ( nombre $n$ positif qui n'admet aucune solution avec $x,y,z$ dans $\mathbb{N}$
Al-Kashi -
Bonsoir, sauf qu'un tel système générateur $a,b,c$ ne peut pas exister (condition de congruence) si c'est minimal.
-
Bonjour,
Je ne comprends pas ta remarque Tonm.
Par exemple le systéme $7x+10y+17z$ répond aux critères imposés.
Al-Kashi -
Une remarque : les deux monoïdes $7\mathbb N + 10 \mathbb N$ et $7\mathbb N + 10 \mathbb N + 17 \mathbb N$ sont égaux et donc leur nombre de Frobenius est le même. Non ?
-
Salut Claude,
En effet, on peut démontrer de manière un peu plus général et de façon assez évidente que si $c=ai+bj$ avec $i, j$ positif alors le nombre de Frobenius est $ab-a-b$
Al-Kashi -
Bonjour,
Je suis sur une piste assez intéressante concernant le problème consistant à déterminer le nombre de Frobenius dans le cas $k=3$. J'essayerai d'exposer mon idée ici même ( c'est un peu long à écrire).
Mais avant tout, et pour éviter de réinventer l'eau chaude, hormis, le livre de Ramirez et la référence donnée par noix de totos, connaissez vous des références donnant des avancées majeures concernant le problème?
En vous remerciant,
Al-Kashi
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