Une suite d'actualité

pappus
pappus
dans Arithmétique
Bonjour
Etudier la suite:
$u_n=\big(23042017^{n^2+n}\mod{(23042017^{2n}-23042017^n-1)}\big)\mod{23042017^n}$
Amicalement
[small]p[/small]appus

Réponses

  • acetonik
    acetonik
    Ah oui !!
    je vois plein de petits lapins qui se reproduisent ...:-)

    Bonne soirée
  • pappus
    pappus
    Merci Acetonik.
    Tes explications seraient les bienvenues pour les futurs abstentionnistes qui ne pensent qu'à ça.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Dom
    Dom
    En effet, s'abstenir, c'est poser un lapin à l'isoloir.
  • pappus
    pappus
    Merci Acetonik et Dom.
    Je vois que la route est encore longue avant d'obtenir une solution sérieuse de cet exercice intemporel.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    En Python: 
    N=20
p=23042017
U=[(p**(n**2+n) % (p**(2*n)-p**n-1)) % (p**n) for n in range(N)]
print(U)
    donne: 
    [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181]
    ce qui ressemble effectivement à Fibonacci.
    Comment as tu trouvé le nombre $23042017$, qui est premier ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • Breyer
    Breyer
    23 avril 2017 ! Tout explose. Sinon la suite de Pappus donne Fibonnacci pour n'importe quel entier >1.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    En posant $p=23042017$ et $q=p^n$, on a $u_n=\left(q^{n+1} \mod (q^2-q-1)\right) \mod q$.
    La présence de $q^2-q-1$ n'est peut-être pas un hasard.

    Cordialement,

    Rescassol

    Edit: Bravo, Breyer, comme quoi, plus c'est gros, moins je le vois.
  • Breyer
    Breyer
    Non ce n'est pas un hasard. Pour $n\geq2$ et $m\geq2$ entiers on a l'amusante égalité

    $$m^{n^{2}+n}-(m^{2n}-m^{n}-1)\left\lfloor \frac{m^{n^{2}+n}}{m^{2n}-m^{n}-1}\right\rfloor =m^{n}F(n+1)+F(n)$$
    où $F(n)$ est le nième nombre de Fibonacci.
  • pappus
    pappus
    Bonsoir à tous
    Je renvoie à cet article :
    Fun with Fibonnacci numbers
    ainsi qu'à cet autre article de Paul Hankin:
    An integer formula for Fibonacci numbers
    Voici aussi une autre démonstration d'un de mes amis.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • acetonik
    acetonik
    @ pappus :Merci !
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