Un polynôme à 2 variables pour Fibonacci
Hello,
C'est le fil de Pappus qui m'a fait penser à cela (mais le seul rapport réside dans la suite de Fibonacci) :
Soit le polynôme $P \in \Z[X,Y]$ :
$$
P = -X^4Y - 2X^3Y^2 + X^2Y^3 + 2XY^4 - Y^5 + 2Y
$$
Alors l'ensemble des valeurs positives ou nulles de $P$ sur $\N \times \N$ est exactement l'ensemble des nombres de Fibonacci. Rappel :
la suite de Fibonacci $(F_n)_{n \ge 0}$ est définie par $F_0 = 0$, $F_1=1$ et $F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$.
Où est le miracle (s'il y en a un) ?
C'est le fil de Pappus qui m'a fait penser à cela (mais le seul rapport réside dans la suite de Fibonacci) :
Soit le polynôme $P \in \Z[X,Y]$ :
$$
P = -X^4Y - 2X^3Y^2 + X^2Y^3 + 2XY^4 - Y^5 + 2Y
$$
Alors l'ensemble des valeurs positives ou nulles de $P$ sur $\N \times \N$ est exactement l'ensemble des nombres de Fibonacci. Rappel :
la suite de Fibonacci $(F_n)_{n \ge 0}$ est définie par $F_0 = 0$, $F_1=1$ et $F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$.
Où est le miracle (s'il y en a un) ?
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Réponses
@Chaurien
J'ai failli dire ``mais je ne vois pas ton nom sur le bulletin en question''. Une question : est ce que, par le Net, on dispose sur ce bulletin 342, d'un accès à un pdf ?
Pour les autres, voici des valeurs de $P$ fournissant des nombres de Fibonacci (cela commence à sentir le roussi), la première ligne étant les premiers termes de la suite en question :
Celle-ci est beaucoup plus simple puisqu'il n'y a que deux variables.
La clé c'est le théorème de Lucas, qui dit que l'ensemble des $(x,y) \in \mathbb N ^2$ tels que $|x^2+xy-y^2|=1$ est l'ensemble des couples $(F_{n-1}, F_n), n \in \mathbb N^*$, plus le couple $(1,0)$. Ceci se prouve en décrivant le groupe des unités de l'anneau $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{5}}{2}]$.
Le polynôme en question est : $P(x,y)=y(2-(x^2+xy-y^2)^2)$, il est dû à J. P. Jones, 1976.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Cet ensemble $2^\N$ m'avait marqué car Tarski avait conjecturé qu'il n'était PAS diophantien. Je crois comprendre que Tarski était le ``patron'' de Julia Robinson .. qui, en travaillant sur le sujet, va finir par penser que $2^\N$ est au contraire diophantien.
Page 25 in http://homepages.inf.ed.ac.uk/s0793114/passmore-diophantine-sets.pdf
Cette démonstration du théoréme de Lucas est publiée aussi dans le n° 28 de 1997 de la revue Quadrature
Que $|x^2+xy-y^2|=1$ avec $x,y$ entiers implique que $x,y$ sont des nombres de Fibonacci consécutifs ça nous dit que les entiers qui annulent $(x^2+xy-y^2)^2-1$ sont les nombres de Fibonacci consécutifs.
Et donc pour $x,y$ entiers $1-(x^2+xy-y^2)^2$ est $\ge 0$ ssi $x,y$ sont des nombres de Fibonacci consécutifs.
C'est facile de voir pourquoi ça résout le problème de départ.