Un polynôme à 2 variables pour Fibonacci

claude quitté
claude quitté
dans Arithmétique
Hello,

C'est le fil de Pappus qui m'a fait penser à cela (mais le seul rapport réside dans la suite de Fibonacci) :

Soit le polynôme $P \in \Z[X,Y]$ :
$$
P = -X^4Y - 2X^3Y^2 + X^2Y^3 + 2XY^4 - Y^5 + 2Y
$$
Alors l'ensemble des valeurs positives ou nulles de $P$ sur $\N \times \N$ est exactement l'ensemble des nombres de Fibonacci. Rappel :
la suite de Fibonacci $(F_n)_{n \ge 0}$ est définie par $F_0 = 0$, $F_1=1$ et $F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$.

Où est le miracle (s'il y en a un) ?

Réponses

  • Sylvain
    Sylvain
    Ce n'est pas lié aux recherches de Matiyasevich sur le 10ème problème de Hilbert ?
  • Chaurien
    Chaurien
    J'ai fait un article sur le sujet dans le Bulletin de l'APMEP n° 342, février 1984 :« De la recherche à nos classes : représentation diophantienne des nombres de Fibonacci ».
  • claude quitté
    claude quitté
    @Sylvain Tout-à-fait

    @Chaurien
    J'ai failli dire ``mais je ne vois pas ton nom sur le bulletin en question''. Une question : est ce que, par le Net, on dispose sur ce bulletin 342, d'un accès à un pdf ?

    Pour les autres, voici des valeurs de $P$ fournissant des nombres de Fibonacci (cela commence à sentir le roussi), la première ligne étant les premiers termes de la suite en question :

     
    [ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765 ]

P(0,1)=1            P(1,1)=1            P(1,2)=2            P(2,3)=3            
P(3,5)=5            P(5,8)=8            P(8,13)=13          P(13,21)=21         
P(21,34)=34         P(34,55)=55         P(55,89)=89         P(89,144)=144       
P(144,233)=233      P(233,377)=377      P(377,610)=610      P(610,987)=987      
P(987,1597)=1597    P(1597,2584)=2584   P(2584,4181)=4181   P(4181,6765)=6765
  • Chaurien
    Chaurien
    En effet, c'était dans l'ambiance de la découverte du polynôme à 26 variables qui constitue une représentation diophantienne des nombres premiers.
    Celle-ci est beaucoup plus simple puisqu'il n'y a que deux variables.
    La clé c'est le théorème de Lucas, qui dit que l'ensemble des $(x,y) \in \mathbb N ^2$ tels que $|x^2+xy-y^2|=1$ est l'ensemble des couples $(F_{n-1}, F_n), n \in \mathbb N^*$, plus le couple $(1,0)$. Ceci se prouve en décrivant le groupe des unités de l'anneau $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{5}}{2}]$.
    Le polynôme en question est : $P(x,y)=y(2-(x^2+xy-y^2)^2)$, il est dû à J. P. Jones, 1976.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • claude quitté
    claude quitté
    A une certaine époque, j'avais essayé de déterminer un polynôme certifiant que l'ensemble des puissances de $2$ était diophantien. Sans y parvenir.
    Cet ensemble $2^\N$ m'avait marqué car Tarski avait conjecturé qu'il n'était PAS diophantien. Je crois comprendre que Tarski était le ``patron'' de Julia Robinson .. qui, en travaillant sur le sujet, va finir par penser que $2^\N$ est au contraire diophantien.

    Page 25 in http://homepages.inf.ed.ac.uk/s0793114/passmore-diophantine-sets.pdf
  • Math Coss
    Math Coss
    L'article de Chaurien.
  • AP
    AP
    Bonjour
    Cette démonstration du théoréme de Lucas est publiée aussi dans le n° 28 de 1997 de la revue Quadrature
  • reuns
    reuns
    C'est vrai que c'est contre-intuitif.

    Que $|x^2+xy-y^2|=1$ avec $x,y$ entiers implique que $x,y$ sont des nombres de Fibonacci consécutifs ça nous dit que les entiers qui annulent $(x^2+xy-y^2)^2-1$ sont les nombres de Fibonacci consécutifs.

    Et donc pour $x,y$ entiers $1-(x^2+xy-y^2)^2$ est $\ge 0$ ssi $x,y$ sont des nombres de Fibonacci consécutifs.

    C'est facile de voir pourquoi ça résout le problème de départ.
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